【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=8,點D為AB的中點,若直角MDN繞點D旋轉(zhuǎn),分別交AC于點E,交BC于點F,則下列說法正確的有( ) ①AE=CF;②EC+CF=4 ;③DE=DF;④若△ECF的面積為一個定值,則EF的長也是一個定值.

A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④

【答案】D
【解析】解:①連接CD.
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點D為AB的中點,
∴CD⊥AB,CD=AD=DB,
在△ADE與△CDF中,∠A=DCF=45°,AD=CD,∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF,
∴AE=CF.說法正確;
②∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=8,
∴AC=BC=4
由①知AE=CF,
∴EC+CF=EC+AE=AC=4 .說法正確;
③由①知△ADE≌△CDF,
∴DE=DF.說法正確;
④∵△ECF的面積= ×CE×CF,如果這是一個定值,則CECF是一個定值,
又∵EC+CF=4
∴可唯一確定EC與EF的值,
再由勾股定理知EF的長也是一個定值,說法正確.
故選D.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解全等三角形的性質(zhì)(全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等),還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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