Question

15、求1⁵+2⁵+3⁵+…+99⁵+100⁵除以4所得的余數(shù)．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意得出1⁵+2⁵+3⁵+…+99⁵+100⁵除以4可能的余數(shù)為1，3，5，7，再根據(jù)aⁿ 和a^4k+n同模即可得出1⁵+…+100⁵ 和 1⁵+3⁵+5⁵+…+99⁵ 和1+3+5+…+99除以4的余數(shù)相同，再討論出1+3+5+…+99除以4的余數(shù)即可．

解答：解：此題有特殊情況，就是都是5次方，而4等于2的2次方，
∴所有的偶數(shù)的5次方除以4都可以整除．
我們只考慮奇數(shù)的情況．
可能的余數(shù)為1，3，5，7
又∵有aⁿ 和a^4k+n同模，
∴1⁵+…+100⁵ 和 1⁵+3⁵+5⁵+…+99⁵ 和1+3+5+…+99除以4的余數(shù)相同
∴只討論1+3+5+…+99，
由于余數(shù)的循環(huán)性，即，這些奇數(shù)除以4的余數(shù)是循環(huán)的，
1，3，5，7，0，1，3，5，7…
看到1+3+5+7=16除以4的余數(shù)為0，99除以4的余數(shù)為3，
∴前面的一個奇數(shù)除以4的余數(shù)為1，
最終這些奇數(shù)除以4的余數(shù)即為0，
故答案為：0．

點評：本題考查的是同余問題，解答此題的關(guān)鍵是得出1⁵+…+100⁵ 和 1⁵+3⁵+5⁵+…+99⁵ 和1+3+5+…+99除以4的余數(shù)相同，再根據(jù)1+3+5+…+99的結(jié)果得出結(jié)論．