Question

【題目】 如圖，AB為⊙O的直徑，F為弦AC的中點，連接OF并延長交弧AC于點D，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E，連接CD，OC．

（1）求證：AC∥DE；

（2）若OA=AE，求證：△AFO≌△CFD；

（3）若OA=AE=2，則四邊形ACDE的面積是______．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）2．

【解析】

（1）先根據(jù)切線的性質(zhì)得出OD⊥DE，再根據(jù)垂定定理得出OD⊥AC，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出OE=2OD，進而得出∠E=30°，進而得出∠C=30°=∠OAF，即可用ASA判斷出△AFO≌△CFD；

（3）先求出△ODE的面積，再根據(jù)（2）△AFO≌△CFD，得出S△AFO=S△CFD，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵DE是⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∵F為⊙O中弦AC的中點，

∴OD⊥AC，

∴AC∥DE；

（2）解：如圖，

連接CD，由（1）知，OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，

∵OA=AE，

∴OE=AE+OA=2OA，

∵OA=OD，

∴OE=2OD，

在Rt△ODE中，OE=2OD，

∴∠E=30°，

∴∠DOE=90°-30°=60°，

∴∠C=∠AOD=30°，

由（1）知，AC∥DE，

∴∠OAF=∠E=30°=∠C，

∵點F是AC的中點，

∴AF=CF，

由（1）知，OD⊥AC，

∴∠AFO=∠CFD=90°，

在△AFO和△CFD中，

∴△AFO≌△CFD（ASA）；

（3）∵OA=AE=2，

∴OE=OA+AE=4，OD=OA=2，

根據(jù)勾股定理得，DE===2，

∴S△ODE=ODDE=×2×2=2

由（2）知，△AFO≌△CFD，

∴S△AFO=S△CFD，

∴S四邊形ACDE=S四邊形DEAF+S△CFD=S四邊形DEAF+S△AFO=S△ODE=2，

故答案為：2．