【題目】(1)如圖1,在中,90°,點為的中點,以為一邊作正方形,點恰好與點重合,則線段與的數(shù)量關(guān)系為________;
(2)在(1)的條件下,如果正方形繞點旋轉(zhuǎn),連接,
①線段與的數(shù)量關(guān)系有無變化?請僅就圖2的情形給出證明;
②當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到三點共線時,直接寫出線段的長.
【答案】(1);(2)①不變化,證明見解析;②或.
【解析】
(1)先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB=AD,再得出AD=AF,即可得出結(jié)論;
(2)①先利用等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)得:,并證明夾角相等即可得出△ACF∽△BCE,進(jìn)而得出結(jié)論;
②分兩種情況:當(dāng)點E在線段BF上時,如圖2,先利用勾股定理求出EF=CF=AD=2,BF=2,即可得出BE=2-2,借助(2)得出的結(jié)論;當(dāng)點E在線段BF的延長線上,同前一種情況一樣即可得出結(jié)論.
解:(1)BE=AF,理由如下:
在Rt△ABC中,AB=AC,
∵D是BC的中點,
∴AD=BC=BD,AD⊥BC,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AB=AD,
∵正方形CDEF,
∴DE=EF,
當(dāng)點E恰好與點A重合,
∴AB=AD=AF,即BE=AF,
故答案為:BE=AF;
(2)①不變化,證明如下:
證明:,.
,,.
四邊形是正方形,
,
,
,
.
又,
,
;
②當(dāng)點E在線段AF上時,如圖2,
由(1)知,CF=EF=CD=2,
在Rt△BCF中,CF=2,BC=4,根據(jù)勾股定理得,BF=2,
∴BE=BF-EF=2-2,
由(2)知,BE=AF,
∴AF=2-2,
當(dāng)點E在線段BF的延長線上時,如圖3,
在Rt△ABC中,AB=AC=4,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴sin∠ABC=
∵∠FCE=∠ACB=45°,
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE,
∴∠FCA=∠ECB,
∴△ACF∽△BCE,
,
∴BE=AF,
由(1)知,CF=EF=CD=2,
在Rt△BCF中,CF=2,BC=4,
根據(jù)勾股定理得,BF=2,
∴BE=BF+EF=2+2,
由(2)知,BE=AF,
∴AF=2+2.
故當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B,E,F三點共線時候,線段AF的長為2-2或2+2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四邊形EFPQ是矩形,點P與點C重合,點Q、E、F分別在BC、AB、AC上(點E與點A、點B均不重合).
(1)當(dāng)AE=8時,求EF的長;
(2)設(shè)AE=x,矩形EFPQ的面積為y.
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)x為何值時,y有最大值,最大值是多少?
(3)當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時,將矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線CB勻速向右運動(當(dāng)點P到達(dá)點B時停止運動),設(shè)運動時間為t秒,矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.
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【題目】某單位組織職工開展植樹活動,植樹量與人數(shù)之間的關(guān)系如表,下列說法不正確的是( )
A.參加本次植樹活動共有29人
B.每人植樹量的眾數(shù)是4
C.每人植樹量的中位數(shù)是5
D.每人植樹量的平均數(shù)是5
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E為CD邊的中點,點P、Q為BC邊上兩個動點,且PQ=2,當(dāng)BP=_____時,四邊形APQE的周長最。
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【題目】已知菱形的邊長為,=120°,對角線相交于點,以點為坐標(biāo)原點,分別以所在直線為軸、軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,以為對角線作菱形菱形,再以為對角線作菱形菱形,再以為對角線作菱形菱形,…,按此規(guī)律繼續(xù)做下去,設(shè)菱形的面積為,菱形的面積為,…,菱形的面積為,則_____.
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【題目】如圖,△AB.C內(nèi)接于⊙0,點D在半徑OB的延長線上,∠BCD=∠A=30°.
(1)判斷直線CD與⊙0的位置關(guān)系,并說明理由
(2)若⊙0的半徑為1,求陰影部分面積.
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【題目】如圖,圓錐母線長厘米.
(1)若底面圓的半徑為厘米,則側(cè)面展開扇形圖的圓心角為__________;
(2)若一只螞蟻從點出發(fā)沿側(cè)面爬行一周回到出發(fā)點,最短路徑長厘米,則側(cè)面展開扇形圖的圓心角為__________.
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【題目】如圖,是的直徑,點是圓上不與點重合的動點,連接并延長到點,使,點是的中點,連接.
(1)求證:;
(2)填空:①若,當(dāng)時,四邊形是菱形;
②當(dāng)四邊形是正方形時, ________°
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【題目】某游樂場一轉(zhuǎn)角滑梯如圖所示,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,點E在水平地面上BD上,在C點測得點A的仰角為30°,斜面EC的坡度為1:,測得B、E間距離為10米,立柱AB高30米,求立柱CD的高(結(jié)果保留根號).
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