Question

如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與軸,軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點(diǎn), ,點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CD⊥軸于點(diǎn)D.

(1)求直線AB的解析式;

(2)若S_梯形OBCD＝,求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,B為頂點(diǎn)的

三角形與△OBA相似.若存在,請(qǐng)求出所有符合條件

的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(做出一種答案即可)

Answer 1

（1）直線AB解析式為：y=x+．                      　    

（2）方法一：設(shè)點(diǎn)Ｃ坐標(biāo)為（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．　　

∴＝＝．           　

由題意： ＝，解得（舍去）　　　　　

∴　Ｃ（２，）　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　

方法二：∵　,＝，∴．

由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．

∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝．　　

∴　AD=１，OD＝２．∴C（２，）．　　　　　　　　　　　

（３）當(dāng)∠OBP＝Rt∠時(shí)，如圖

      ①若△BOP∽△OBA，則∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，

∴（3，）．                                           　 

      ②若△BPO∽△OBA，則∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．

∴（1，）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

當(dāng)∠OPB＝Rt∠時(shí)

③ 過(guò)點(diǎn)P作OP⊥BC于點(diǎn)P(如圖)，此時(shí)△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M．

方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．

∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，

∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．　　

方法二：設(shè)Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+

由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．

∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==．

∴x+＝x，解得x＝．此時(shí)，（，）． 　　　

④若△POB∽△OBA(如圖)，則∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　　

  　 ∴　PM＝OM＝．

∴　（，）（由對(duì)稱性也可得到點(diǎn)的坐標(biāo)）．

當(dāng)∠OPB＝Rt∠時(shí)，點(diǎn)P在ｘ軸上,不符合要求.

綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是：

（3，），（1，），（，），（，）．