Question

【題目】在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且是和的比例中項(xiàng)．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段之間，聯(lián)結(jié)，且與互相垂直，求的長(zhǎng)；

（3）聯(lián)結(jié)，如果與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)所組成的三角形相似，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）的長(zhǎng)分別為或3．

【解析】

（1）由比例中項(xiàng)知 ，據(jù)此可證 得，再證明 可得答案；

（2）先證 ，結(jié)合 ，得 ，從而知 ，據(jù)此可得 ，由（1）得，據(jù)此知 ，求得 ；

（3）分 和 兩種情況分別求解可得．

（1）證明：∵是和的比例中項(xiàng)

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

（2）解：∵與互相垂直

∴

∵

∴

∴

由（1）得

∴

∴

∴

∵，，

∴

∴

由（1）得

∴

∴

∴

∵

∴

∴

（3）∵，

又，由（1）得

∴

當(dāng)與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)所組成的三角形相似時(shí)

1) ，如圖

∴

由（2）得：

2），如圖

過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)

由（1）得

∴

∴又

設(shè)，則，，

又

∴，解得

∴

綜上所述，的長(zhǎng)分別為或3．