【題目】我們規(guī)定:橫、縱坐標相等的點叫做完美點”.

(1)若點A(x,y)完美點,且滿足x+y=4,求點A的坐標;

(2)如圖1,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是正方形,點A坐標為(0,4),連接OB,E點從OB運動,速度為2個單位/秒,到B點時運動停止,設運動時間為t.

①不管t為何值,E點總是完美點”;

②如圖2,連接AE,過E點作PQx軸分別交AB、OCP、Q兩點,過點EEFAEx軸于點F,問:當E點運動時,四邊形AFQP的面積是否發(fā)生變化?若不改變,求出面積的值;若改變,請說明理由.

【答案】(1)A(2,2);(2)①證明見解析;②當E點運動時,四邊形AFQP的面積不變,面積為8.

【解析】

(1)根據(jù)完美點定義可求點A坐標;(2)①由題意可求直線OB的解析式y=x,點E在直線OB上移動,則可證結論;②根據(jù)題意可證EFQ≌△APE,可求PE=FQ,則可求四邊形AFQP的面積.

(1)∵點A(x,y)完美點

x=y

x+y=4

x=2,y=2

A點坐標(2,2)

(2)①∵四邊形OABC是正方形,點A坐標為(0,4),

AO=AB=BC=4B(4,4)

設直線OB解析式y=kxB

4=4k,k=1

∴直線OB解析式y=x

設點E坐標(x,y)

∵點E在直線OB上移動

x=y

∴不管t為何值,E點總是完美點”.

②∵E點總是完美點”.

EQ=OQ

∵∠BAO=AOC=90°,PQx

∴四邊形AOQP是矩形

AP=OQ,AO=PQ=4

AP=EQ

AEEF

∴∠AEP+FEQ=90°,EAP+AEP=90°

∴∠FEQ=EAP

AP=EQ,FEQ=EAP,APE=EQF=90°

∴△APE≌△EFQ

PE=FQ

S四邊形AFQP= =2(PE+EQ)=2×PQ=8

∴當E點運動時,四邊形AFQP的面積不變,面積為8.

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