【題目】如圖1,在ABC中,ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC,BAC=90°,

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖2,將ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得到的三角形為 ,線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為 ,線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為 ;

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;

(2)如果ABAC,BAC是銳角,點(diǎn)D在線段BC上,當(dāng)ACB滿足什么條件時(shí),CFBC(點(diǎn)C、F不重合),并說明理由.

【答案】(1)①ACF,垂直,相等

②結(jié)論是否仍然成立,理由見解析

(2)當(dāng)ACB=45°時(shí),CFBC,理由見解析

【解析】

試題分析:解題的關(guān)鍵是過點(diǎn)A作AGAC交CB的延長線于點(diǎn)G,構(gòu)造全等三角形.(1)①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),即可得出CF=BD,BDCF;②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí),①的結(jié)論仍成立.由正方形ADEF的性質(zhì)可推出DAB≌△FAC,所以CF=BD,ACF=ABD,結(jié)合BAC=90°,AB=AC,得到BCF=ACB+ACF=90°,即CFBD;

(2)當(dāng)ACB=45°時(shí),過點(diǎn)A作AGAC交CB的延長線于點(diǎn)G,則GAC=90°,可推出ACB=AGC,所以AC=AG,由(1)①中的方法可得CFBD.

解:(1)①如圖2所示,將ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得到ACF,則

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:ACF=B,CF=BD,

AB=AC,BAC=90°,

∴∠B=ACB=45°=ACF,

∴∠BCF=90°,即BDCF;

故答案為:ACF,垂直,相等;

②如圖3所示,當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí),①中的結(jié)論仍成立.

證明:由正方形ADEF得,AD=AF,DAF=90°.

∵∠BAC=90°

∴∠DAF=BAC,

∴∠DAB=FAC,

AB=AC,

∴△DAB≌△FAC(SAS),

CF=BD,ACF=ABD.

∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠ABC=45°,

∴∠ACF=45°,

∴∠BCF=ACB+ACF=90°,即 CFBD;

(2)如圖4所示,當(dāng)ACB=45°時(shí),CFBD.

理由:過點(diǎn)A作AGAC交CB或CB的延長線于點(diǎn)G,則GAC=90°,

∵∠ACB=45°,AGC=90°﹣ACB=45°,

∴∠ACB=AGC,

AC=AG,

∵∠DAG=FAC(同角的余角相等),AD=AF,

∴△GAD≌△CAF(SAS),

∴∠ACF=AGC=45°,

∴∠BCF=ACB+ACF=45°+45°=90°,即CFBC.

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