【題目】已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(2,﹣3).
(1)如圖,過點A分別向x軸,y軸作垂線,垂足分別為B,C,得到矩形ABOC,且拋物線經(jīng)過點C.
①求拋物線的解析式.
②將拋物線向左平移m(m>0)個單位,分別交線段OB,AC于D,E兩點.若直線DE剛好平分矩形ABOC的面積,求m的值.
(2)將拋物線平移,使點A的對應(yīng)點為A1(2﹣n,3b),其中n≥1.若平移后的拋物線仍然經(jīng)過點A,求平移后的拋物線頂點所能達到最高點時的坐標(biāo).
【答案】(1)①y=x2﹣2x﹣3;②m=;(2)頂點坐標(biāo)(0,﹣7).
【解析】
(1)①將A(2,﹣3),B(2,0)代入y=x2+bx+c即可求出;
②因為直線DE剛好平分矩形ABOC的面積,所以AE=OD=m,DB=CE=2﹣m,D(m,0),E(2﹣m,﹣3),易知F(3,0),所以DF=3﹣m,于是3﹣m=m,從而求出m;
(2)由拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(2,﹣3),可得y=x2+bx﹣2b﹣7,由A的對應(yīng)點為A1(2﹣n,3b),可知拋物線向左平移了n個單位,向上平移(3b+3)個單位,則平移后y=(x+n)2+b(x+n)﹣2b﹣7+3b+3,整理后根據(jù)平移后的拋物線仍然經(jīng)過點A(2,﹣3),繼而可求得b=﹣n﹣1,進而可求得頂點坐標(biāo).
(1)①∵四邊形ABOC是矩形,A(2,﹣3),
∴B(2,0),C(0.﹣3),
∵拋物線y=x2+bx+c過點A、C,
∴, 解得:,
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;
②如圖,設(shè)原拋物線與x軸正半軸交于點F,
∵直線DE剛好平分矩形ABOC的面積,
∴AE=OD=m,DB=CE=2﹣m
∴D(m,0),E(2﹣m,﹣3)
∵易知F(3,0),
∴DF=3﹣m,
∵DF=AE,
∴3﹣m=m,
∴m=;
(2)拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(2,﹣3).
﹣3=22+2b+c,
∴c=﹣2b﹣7,
∴y=x2+bx﹣2b﹣7,
∵A的對應(yīng)點為A1(2﹣n,3b),
∴拋物線向左平移了n個單位,向上平移(3b+3)個單位
則平移后y=(x+n)2+b(x+n)﹣2b﹣7+3b+3,
整理得y=(x+n)2+b(x+n)+b﹣4=(x+n+)2﹣+b﹣4,
∵平移后的拋物線仍然經(jīng)過點A(2,﹣3),
∴﹣3=(2+n)2+b(2+n)+b﹣4,
∴n2+4n+3+b(3+n)=0,
∴(n+1(n+3))+b(n+3)=0,
(
∵n≥1,∴n+3>0,
∴n+1+b=0,b=﹣n﹣1,
頂點坐標(biāo)(﹣n﹣,﹣ +b﹣4),
y頂=﹣+b﹣4=﹣(b﹣2)2﹣3=﹣(n+3)2﹣3,
∵n≥1,-<0,
∴n=1時,頂點最高,此時b=﹣1﹣1=﹣2,
頂點坐標(biāo)(0,﹣7).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:有一組對角互補的四邊形叫做互補四邊形.
概念理解:
①在互補四邊形中,與是一組對角,若則 _
②如圖1,在中,點分別在邊上,且求證:四邊形是互補四邊形.
探究發(fā)現(xiàn):如圖2,在等腰中,點分別在邊上, 四邊形是互補四邊形,求證:.
推廣運用:如圖3,在中,點分別在邊上,四邊形是互補四邊形,若,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)開展以“我最喜歡的職業(yè)”為主題的調(diào)查活動,通過對學(xué)生的隨機抽樣調(diào)查得到一組數(shù)據(jù),如圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制成的不完整統(tǒng)計圖.
(1)把折線統(tǒng)計圖補充完整;
(2)求出扇形統(tǒng)計圖中,公務(wù)員部分對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)若從被調(diào)查的學(xué)生中任意抽取一名,求取出的這名學(xué)生最喜歡的職業(yè)是“教師”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平直角坐標(biāo)系中,規(guī)定:拋物線的相關(guān)直線為.例如:二次函數(shù)的相關(guān)直線為.
(1)直接寫出拋物線的相關(guān)直線,并求出拋物線與其相關(guān)直線的交點坐標(biāo);
(2)如圖,拋物線與它的相關(guān)直線交于、兩點.
①求拋物線的解析式;
②連結(jié),求的面積;
③作,過拋物線上一動點(不與、重合)作直線的平行線交于點,若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形,直接寫出點的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=﹣的圖象與直線y=kx(k<0)相交于點A、B,以AB為底作等腰三角形,使∠ACB=120°,且點C的位置隨著k的不同取值而發(fā)生變化,但點C始終在某一函數(shù)圖象上,則這個圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有甲、乙兩臺機器加工同一種零件,已知一小時甲加工的零件數(shù)與一小時乙加工的零件數(shù)的和為36個,甲加工80個零件與乙加工100個零件的所用時間相等.求甲、乙兩臺機器每小時分別加工零件多少個?
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線:與直線分別交于點.直線與交于點.記線段,圍成的區(qū)域(不含邊界)為.橫,縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.
(1)當(dāng)時,區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)為_____;
(2)若區(qū)域內(nèi)沒有整點,則的取值范圍是_______.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,對角線AC、BD交于點O,AO=BO,DE平分∠ADC交BC于點E,連接OE.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AB=2,求△OEC的面積.
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【題目】(問題)
如圖1,在中,,過點作直線平行于.,點在直線上移動,角的一邊始終經(jīng)過點,另一邊與交于點,研究和的數(shù)量關(guān)系.
(探究發(fā)現(xiàn))
(1)如圖2,某數(shù)學(xué)興趣小組運用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想,發(fā)現(xiàn)當(dāng)點移動到使點與點重合時,通過推理就可以得到,請寫出證明過程;
(數(shù)學(xué)思考)
(2)如圖3,若點是上的任意一點(不含端點),受(1)的啟發(fā),這個小組過點作交于點,就可以證明,請完成證明過程;
(拓展引申)
(3)如圖4,在(1)的條件下,是邊上任意一點(不含端點),是射線上一點,且,連接與交于點,這個數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取點反復(fù)進行實驗,發(fā)現(xiàn)點在某一位置時的值最大.若,請你直接寫出的最大值.
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