Question

【題目】已知⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點B的坐標為（，0），CAB=90°, AC=AB，頂點A在⊙O上運動．

（1）設點A的橫坐標為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值與最小值；（2）當直線AB與⊙O相切時，求AB所在直線對應的函數(shù)關系式．

Answer 1

【答案】（1），其中-1≤x≤1，S的最大值為，最小值為；（2）或.

【解析】

試題（1）過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求AE的長，然后再在Rt△BAE中求出AB的長，進而求出面積的表達式，結合定義域，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定最大最小值；

（2）相切時有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點坐標，AB所在直線對應的函數(shù)關系式很容易就能求出．

試題解析：（1）如圖1，連接OA，過點A作AE⊥OB于點E，

在Rt△OAE中，，

在Rt△BAE中，，

∴，其中-1≤x≤1.

∴當x=-1時，S的最大值為，當x=1時，S的最小值為.

（2）①當點A位于第一象限時（如圖1），連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，

∵直線AB與⊙O相切，∴∠OAB=90°.

又∵∠CAB=90°，∴∠CAB+∠OAB=180°.∴點O、A、C在同一條直線.

∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°.

在Rt△OAE中，OE=AE=，點A的坐標為（，）.

又∵B的坐標為（，0），∴過A、B兩點的直線為.

②當點A位于第四象限時（如圖2），點A的坐標為（，），

∵B的坐標為（，0），∴過A、B兩點的直線為.

綜上所述，過A、B兩點的直線為或.