Question

【題目】如圖，正方形ABCD中點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接CE，將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△CGF，點(diǎn)G在CE上，作DM⊥CE于點(diǎn)M，連接BM交CF于N，已知四邊形GFNM面積為27，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為_________．

Answer 1

【答案】10

【解析】

作BH⊥EC于H，可證△BCH≌△DMC，可得DM=CH，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得CM=2DM，則H是CM中點(diǎn)，可得∠BMC=∠BCM，再證△MNC∽△FGC，根據(jù)面積比等于相似比的平方，可求正方形ABCD的邊長(zhǎng)

作BH⊥EC于H

設(shè)BC=CD=AD=2a，

∵E為AD中點(diǎn)，

∴DE=a，

∴S△DEC=a2．

根據(jù)勾股定理得EC=a，

∵∠HBC+∠HCB=90°，∠ECD+∠HCB=90°，

∴∠ECD=∠HBC，且CD=BC，∠BHC=∠DMC=90°，

∴△DMC≌△BHC，

∴CH=MD，BH=CM，

∵sin∠DCE=，

∴，

∴DM=a，

∴CM==a，

∴CH=a，

∴MH=CH，且BH⊥CM，

∴BM=BC，

∴∠BMC=∠BCM，

∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠ECB，

∵旋轉(zhuǎn)

∴∠F=∠DEC，CF=CE=a

∴∠F=∠BMC，∠MCF=∠MCF

∴△MNC∽△GFC

∴，

，

∴S△MNC=，

∴SFGMN=a2﹣=，

∴=27，

∴a=5，

∴2a=10，

故答案為：10