【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為2cm,∠DAB=60°.點P從A點出發(fā),以cm/s的速度,沿AC向C作勻速運動;與此同時,點Q也從A點出發(fā),以1cm/s的速度,沿射線AB作勻速運動.當P運動到C點時,P、Q都停止運動,設(shè)點P運動的時間為t(s).
(1)對角線AC的長是 cm;
(2)當P異于A、C時,請說明PQ∥BC;
(3)以P為圓心、PQ長為半徑作圓,請問:在整個運動過程中,t為怎樣的值時,⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點?
【答案】(1)2$\sqrt{3}$;(2)見解析;(3)當t=4﹣6或1<t≤3﹣或t=2時,⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點;當4﹣6<t≤1時,⊙P與邊BC有2個公共點
【解析】
(1)連接BD交AC于點O,由菱形的性質(zhì)可知△AOB為直角三角形且∠OAB=30°,依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AO的長,從而得到AC的長;
(2)連接BD交AC于O,構(gòu)建直角三角形AOB.利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質(zhì)推知△PAQ∽△CAB;然后根據(jù)“相似三角形的對應(yīng)角相等”證得∠APQ=∠ACB;最后根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等,兩直線平行”可以證得結(jié)論;
(3)如圖2,⊙P與BC切于點M,連接PM,構(gòu)建Rt△CPM,在Rt△CPM利用特殊角的三角函數(shù)值求得PM=PC=,然后根據(jù)PM=PQ=AQ=t列出關(guān)于t的方程,通過解方程即可求得t的值;
如圖3,⊙P過點B,此時PQ=PB,根據(jù)等邊三角形的判定可以推知△PQB為等邊三角形,然后由等邊三角形的性質(zhì)以及(2)中求得t的值來確定此時t的取值范圍;
如圖4,⊙P過點C,此時PC=PQ,據(jù)此等量關(guān)系列出關(guān)于t的方程,通過解方程求得t的值.
(1)連接BD交AC于點O.
∵ABCD為菱形,∠DAB=60°,
∴∠OAB=30°,∠AOB=90°,AO=CO.
∴AO=AB×=2×=.
∴AC=2.
故答案為:2.
(2)∵四邊形ABCD是菱形,且菱形ABCD的邊長為2cm,
∴AB=BC=2,∠BAC=∠DAB,
又∵∠DAB=60°(已知),
∴∠BAC=∠BCA=30°;
如圖1,連接BD交AC于O.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=AC,
∴OB=AB=1(30°角所對的直角邊是斜邊的一半),
∴OA=(cm),AC=2OA=2(cm),
運動ts后,AP= t,AQ=t,
∴= =,
又∵∠PAQ=∠CAB,
∴△PAQ∽△CAB,
∴∠APQ=∠ACB(相似三角形的對應(yīng)角相等),
∴PQ∥BC(同位角相等,兩直線平行)
(2)如圖2,⊙P與BC切于點M,連接PM,則PM⊥BC.
在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM=PC=,由PM=PQ=AQ=t,即=t
解得t=4﹣6,此時⊙P與邊BC有一個公共點;
如圖3,⊙P過點B,此時PQ=PB,
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB為等邊三角形,∴QB=PQ=AQ=t,∴t=1
∴當4﹣6<t≤1時,⊙P與邊BC有2個公共點.
如圖4,⊙P過點C,此時PC=PQ,即2﹣t=t,∴t=3﹣.
∴當1<t≤3﹣時,⊙P與邊BC有一個公共點,
當點P運動到點C,即t=2時P與C重合,Q與B重合,也只有一個交點,此時,⊙P與邊BC有一個公共點,
∴當t=4﹣6或1<t≤3﹣或t=2時,⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點;
當4﹣6<t≤1時,⊙P與邊BC有2個公共點.
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【題目】如圖,已知點E,F(xiàn)分別是ABCD的邊BC,AD上的中點,且∠BAC=90°,若∠B=30°,BC=10,則四邊形AECF的面積為__.
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【題目】 隨著新學(xué)校建成越來越多,絕大部分孩子已能就近入學(xué),某數(shù)學(xué)學(xué)習興趣小組對八年級(1)班學(xué)生上學(xué)的交通方式進行問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果畫出下列兩個不完整的統(tǒng)計圖(圖1、圖2).請根據(jù)圖中的信息完成下列問題.
(1)該班參與本次問卷調(diào)查的學(xué)生共有多少人;
(2)請補全圖1中的條形統(tǒng)計圖;
(3)在圖2的扇形統(tǒng)計圖中,“騎車”所在扇形的圓心角的度數(shù)是多少度.
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【題目】已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根。
(1)求證:無論為何值時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根。
(2)為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形。
(3)為何值時,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周長。
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,G為⊙O上一點,連接AG交CD于K,在CD的延長線上取一點E,使EG=EK,EG的延長線交AB的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)連接DG,若AC∥EF時.
①求證:△KGD∽△KEG;
②若,AK=,求BF的長.
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【題目】如圖,相鄰兩條平行直線間的距離相等,若等腰直角三角形ABC的直角頂點C在上,另兩個頂點A、B分別在、上,則的值是_______.
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【題目】已知直線l經(jīng)過A(6,0)和B(0,12)兩點,且與直線y=x交于點C,點P(m,0)在x軸上運動.
(1)求直線l的解析式;
(2)過點P作l的平行線交直線y=x于點D,當m=3時,求△PCD的面積;
(3)是否存在點P,使得△PCA成為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點,頂點C的縱坐標為﹣2,現(xiàn)將拋物線向右平移2個單位,得到拋物線y=a1x2+b1x+c1,則下列結(jié)論:①b>0;②a﹣b+c<0;③陰影部分的面積為4;④若c=﹣1,則b2=4a.其中正確的個數(shù)為( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】某廠家生產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品,制造時每件的成本為40元,通過試銷發(fā)現(xiàn),銷售量萬件與銷售單價元之間符合一次函數(shù)關(guān)系,其圖象如圖所示.
求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
物價部門規(guī)定:這種電子產(chǎn)品銷售單價不得超過每件80元,那么,當銷售單價x定為每件多少元時,廠家每月獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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