已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根.
(1)求證:無論k為何值時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)k為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形.
【答案】分析:(1)要證明無論k為何值時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根,就是證明△>0,而△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1,所以△>0;
(2)要得到△ABC是以BC為斜邊的直角三角形,即要有BC2=AC2+AC2,然后根據(jù)根與系數(shù)的關系用k表示AC2+AC2,得到k的方程,解方程,再根據(jù)題意取舍即可.
解答:(1)證明:∵△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1,
∴△>0,
∴無論k取何值時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2﹚解:當△ABC是以BC為斜邊的直角三角形時,有AB2+AC2=BC2
又∵BC=5,兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根.
∴AB2+AC2=25,AB+AC=2k+3,AB•AC=k2+3k+2,
由(AB+AC)2-2AB•AC=25
∴(2k+3)2-2•(k2+3k+2)=25
∴k2+3k-10=0,(k-2)(k+5)=0,
∴k1=2或k2=-5
又∵AB+AC=2k+3>0
∴k2=-5舍去
∴k=2.
點評:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式△=b2-4ac.當△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0,方程沒有實數(shù)根.同時考查了勾股定理的逆定理和一元二次方程的解法.
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已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根,
(1)求證:無論k為何值時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)k為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;
(3)k為何值時,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周長.

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22、已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根.
(1)求證:無論k為何值時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)k為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形.

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已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(k+3)x+3k=0的兩個實數(shù)根.
(1)求證:無論k為何值時,方程總有兩個實數(shù)根;
(2)當△ABC是等腰三角形時,求k的值.

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1.求證:無論為何值時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根;

2.當為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;

 

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科目:初中數(shù)學 來源:2011-2012學年江蘇省海安縣曲塘中學附屬初級中學九年級上學期期中考試數(shù)學卷 題型:解答題

(本題10分)已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根.
(1)求證:無論為何值時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)當為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;

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