已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
(1)求證:無論k為何值時(shí),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)k為何值時(shí),△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;
(3)k為何值時(shí),△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周長.
分析:(1)若要證明方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,只需證明△>0.
(2)若△ABC是以BC為斜邊的直角三角形,則根據(jù)勾股定理,AB2+AC2=25,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得k的值即可.
(3)此題要分兩種情況進(jìn)行討論,若AB=BC=5時(shí),把5代入方程即可求出k的值,若AB=AC時(shí),則△=0,列出關(guān)于k的方程,解出k的值即可.
解答:解:(1)因?yàn)椤?b2-4ac=[-(2k+3)]2-4×1×(k2+3k+2)=1>0,
所以方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系:AB+AC=2k+3,AB•AC=k2+3k+2,
則AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB•AC=25,
即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25,
解得k=2或k=-5.
根據(jù)三角形的邊長必須是正數(shù),因而兩根的和2k+3>0且兩根的積3k+2>0,解得k>-
2
3

∴k=2.

(3)若AB=BC=5時(shí),5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的實(shí)數(shù)根,把x=5代入原方程,得k=3或k=4.
由(1)知,無論k取何值,△>0,所以AB≠AC,故k只能取3或4.
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得:AB+AC=2k+3,當(dāng)k=3時(shí),AB+AC=9,則周長是9+5=14;
當(dāng)k=4時(shí),AB+AC=8+3=11.則周長是11+5=16.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式,一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系是:(1)△>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)△<0?方程沒有實(shí)數(shù)根.在解題的過程中注意不要忽視三角形的邊長是正數(shù)這一條件.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

22、已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)求證:無論k為何值時(shí),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(2)k為何值時(shí),△ABC是以BC為斜邊的直角三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(k+3)x+3k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)求證:無論k為何值時(shí),方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),求k的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

1.求證:無論為何值時(shí),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

2.當(dāng)為何值時(shí),△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省海安縣曲塘中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本題10分)已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)求證:無論為何值時(shí),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)為何值時(shí),△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;

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