在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(0,),直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+,l1與l2相交于點(diǎn)P.⊙C是一個動圓,圓心C在直線l1上運(yùn)動,設(shè)圓心C的橫坐標(biāo)是a.過點(diǎn)C作CM⊥x軸,垂足是點(diǎn)M.
(1)填空:直線l1的函數(shù)表達(dá)式是______
【答案】分析:(1)因?yàn)橹本l1經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(0,),可設(shè)直線l1的解析式為y=kx+b,將A、B的坐標(biāo)代入,利用方程組即可求得該解析式,又因直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+,l1與l2相交于點(diǎn)P,所以將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得到方程組,解之即可得到交點(diǎn)P的坐標(biāo),過P作x軸的垂線段,垂足為H,由P的坐標(biāo)可知,AH=EH=3,PH=,所以∠PEA=∠PAE=30°,利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和,可得到∠FPB是60°;
(2)當(dāng)C在射線PA的延長線上時,設(shè)⊙C和直線l2相切時,D是切點(diǎn),連接CD,則CD⊥PD.過點(diǎn)P作CM的垂線PG,垂足為G,因?yàn)椤螩PG=∠CAB=30°,PC=PC,所以可證Rt△CDP≌Rt△PGC,所以PG=CD=R.當(dāng)點(diǎn)C在射線PA上,⊙C和直線l2相切時,同理可證Rt△CDP≌Rt△PGC,所以PG=CD=R.取R=-2時,C在AP的反向延長線上時,因?yàn)镻的橫坐標(biāo)為1,所以a=1+R=-1,C在PA上時,因?yàn)镻的橫坐標(biāo)為1,所以a=-(R-1)=3-3;
(3)當(dāng)⊙C和直線l2不相離時,由(2)知,分兩種情況討論:①當(dāng)0≤a≤-1時,四邊形是一個直角梯形,所以有=,利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式即可求出S的最大值;
②當(dāng)=3-3≤a<0時,顯然⊙C和直線l2相切即a=3-3時,S最大.此時
s最大值=,綜合以上①和②,即可求出答案.
解答:解:(1)設(shè)直線l1的解析式為y=kx+b,
∵直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(0,),
,
解得,
∴直線l1的解析式為y=x+
聯(lián)立l1與l2得,
,
解得,
∴P(1,);
過P作x軸的垂線段,垂足為H,
∵P(1,),
∴AH=EH=3,PH=,
∴∠PEA=∠PAE=30°,
∴∠FPB=∠PEA+∠PAE=60°;

(2)設(shè)⊙C和直線l2相切時的一種情況如圖1所示,D是切點(diǎn),連接CD,則CD⊥PD.過點(diǎn)P作CM的垂線PG,垂足為G,則Rt△CDP≌Rt△PGC(∠PCD=∠CPG=30°,CP=PC),
∴PG=CD=R.
當(dāng)點(diǎn)C在射線PA上,⊙C和直線l2相切時,同理可證.
取R=-2時,a=1+R=-1,或a=-(R-1)=3-3

(3)當(dāng)⊙C和直線l2不相離時,由(2)知,分兩種情況討論:
①如圖2,當(dāng)0≤a≤-1時,
=
時,(滿足a≤-1),S有最大值.此時s最大值=);
②當(dāng)=3-3≤a<0時,顯然⊙C和直線l2相切即a=3-3時,S最大.此時
s最大值=
綜合以上①和②,當(dāng)a=3或a=時,存在S的最大值,其最大面積為
點(diǎn)評:考查一次函數(shù)的解析式、圖象、性質(zhì)和圓的相關(guān)知識,及綜合應(yīng)用相關(guān)知識分析問題、解決問題的能力.
此題也較為新穎,符合新課標(biāo)的理念,揭示了求最值的一般方法,本題的難度設(shè)置也較為合適,使同學(xué)們都能有發(fā)揮自己能力的空間.
練習(xí)冊系列答案
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13、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(2,-2),在y軸上確定點(diǎn)P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的有
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(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C 點(diǎn),D是線段BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),若以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)M在此拋物線上,若要使以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請你直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個頂點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個動點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G,再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H,得到矩形EFGH.則在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M,使△MBC中BC邊上的高為7
2
?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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5
5
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