在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=1,并且經(jīng)過(guò)(-2,-5)和(5,-12)兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C 點(diǎn),D是線段BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),若以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)M在此拋物線上,若要使以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法列出方程組,求出a、b、c的值即可;
(2)根據(jù)拋物線解析式求出與x軸、y軸的交點(diǎn),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,結(jié)合勾股定理解答即可;
(3)畫出圖形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意,得
| | -=1 | 4a-2b+c=-5 | 25a+5b+c=-12. |
| |
|
| |
,
解這個(gè)方程組,得
,(1分)
∴拋物線的解析式為y=-x
2+2x+3.(2分)
(2)令y=0,得-x
2+2x+3=0.
解這個(gè)方程,得x
1=-1,x
2=3.
∴A(-1,0),B(3,0).
令x=0,得y=3.
∴C(0,3).
∴AB=4,OB=OC=3,∠OBC=45°.
∴
BC===3.
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E.
∵∠OBC=45°,
∴BE=DE.
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC,
已有∠ABC=∠OBD,則只需
=或
=成立.
若
=成立,
則有
BD===.
在Rt△BDE中,由勾股定理,得
BE2+DE2=2BE2=BD2=()2.
∴
BE=DE=.
∴
OE=OB-BE=3-=.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(,).(4分)
若
=成立,則有
BD===2.
在Rt△BDE中,由勾股定理,得
BE2+DE2=2BE2=BD2=(2)2.
∴BE=DE=2.
∴OE=OB-BE=3-2=1.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2).(5分)
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(,)或(1,2);
(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,3)或(4,-5)或(-4,-21).(8分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖象與x軸、y軸交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn).主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,畫出相關(guān)圖形,是解題必不可少的環(huán)節(jié).