Question

如圖平面直角坐標(biāo)系中，半徑為5的⊙O過點(diǎn)D、H，且DH⊥x軸，DH=8．
（1）求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（2）如圖，點(diǎn)A為⊙0和x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，P為弧AH上任意一點(diǎn)，連接PD、PH，AM⊥PH交HP的延長線于M，求

PD-PH

PM

的值；


（3）如圖，設(shè)⊙O與x軸正半軸交點(diǎn)為P，點(diǎn)E、F是線段OP上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)P不重合），連接并延長DE、DF交⊙O于點(diǎn)B、C，直線BC交x軸于點(diǎn)G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OP上運(yùn)動(dòng)時(shí)（與點(diǎn)P不重合），試探索：
①∠OGC+∠DOG是定值；②∠GBD+∠DOG是定值；哪一個(gè)結(jié)論正確，說明理由并求出其定值．

Answer 1

分析：（1）連接OH，根據(jù)勾股定理求得OC=3，從而得出點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（2）連接AD、AH，作AN⊥PD于N，由鄰補(bǔ)角的定義，得∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，可以證明△ADN≌△AHM，由垂徑定理可得AD=AE
則△ADN≌△AHM，從而得出求

PD-PH

PM

的值；
（3）由題意可得，弧DP=弧PN，則∠DOG=∠NOG，由△DEF是等腰三角形，得弧BN=弧CN，則∠OGC+∠NOG=90°，從而得出∠OGC+∠DOG=90°

解答：解：（1）連接OH，（1分）
∵DH⊥x軸，
∴DC=DH=

1

2

DH=4，（2分）
根據(jù)勾股定理OC²+HC²=OH²，
∴OC=3，（3分）
∴H（3，-4）；（4分）

（2）連接AD、AH，作AN⊥PD于N，（5分）
∵∠APM+∠APH，
=∠ADH+∠APH=180°，
∴∠APM=∠ADH=∠AHD=∠APN，
而AN⊥PD，AM⊥PH，
∴AM=AN，（6分）
又AP=AP，
∴△APM≌△APN（HL），
由垂徑定理可得：

AD

=

AH

，
∴AD=AH，
∴△ADN≌△AHM（HL），（7分）
∴PM=PN，DN=HM，
∴PD-PH=2PM，
∴

PD-PH

PM

=2；（8分）

（3）當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OP上運(yùn)動(dòng)時(shí)（與點(diǎn)P不重合），∠OGC+∠DOG是定值．理由如下：
過點(diǎn)D作DM⊥EF于M，并延長DM交⊙O于N，連接ON，交BC于T，（9分）
則弧DP=弧PN，
∴∠DOG=∠NOG，（10分）
∵△DEF為等腰三角形，DM⊥EF，
∴DN平分∠BDC，（11分）
∴弧BN=弧CN，
所以O(shè)T⊥BC，
∴∠OGC+∠NOG=90°，
∴∠OGC+∠DOG=90°．（12分）

點(diǎn)評：本題綜合考查了勾股定理、全等三角形的判定、垂徑定理和圓周角定理．解答這類題一些學(xué)生不會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問題，不知從何處入手造成錯(cuò)解．