【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,△ABC的高CD與角平分線AE相交點F,過點C作CH⊥AE于G,交AB于H.下列說法:①∠BCH=∠CAE;②DF=EF;③CE=BH;④S△ABE=2S△ACE;⑤CF=DF.正確的是_____.
【答案】①③⑤
【解析】
①根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論正確;
②如圖1,作輔助線,構(gòu)建三角形的內(nèi)心為F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得:DF=FM,由垂線段最短可知:EF>FM,則EF>DF;
③如圖1,證明△ACF≌△CBH,可得CF=BH=CE,可作判斷;
④如圖2,連接EH,F(xiàn)H,先證明四邊形CFHE是菱形,得CD∥EH,則EH⊥AB,所以△EHB是等腰直角三角形,則BE=EH=CE,根據(jù)三角形面積公式可得S△ABE=S△ACE;
⑤如圖2,易得△ADF≌△CDH,由△FDH是等腰直角三角形,則FH=DF,所以CF=FH=DF.
①∵∠ACB=90°,
∴∠CAE+∠AEC=90°,
∵CH⊥AE,
∴∠CGE=90°,
∴∠BCH+∠AEC=90°,
∴∠BCH=∠CAE;
故①正確;
②如圖1,連接FB,過F作FM⊥BC于M,
∵AC=BC,CD⊥AB,
∴CD平分∠ACB,
∵AE平分∠CAB,
∴BF平分∠ABC,
∵FD⊥AB,
∴DF=FM,
Rt△FME中,∠AEC=45°+22.5°=67.5°,
∴EF>FM,
即EF>DF,
故②不正確;
③如圖1,∵∠DCH=∠BCH,AE⊥CG,
∴∠CFG=∠CEF,
∴CF=CE,
在△ACF和△CBH中,
∵∠HCB=∠FAC,BC=AC,∠B=∠ACF=45°,
∴△ACF≌△CBH,
∴CF=BH=CE,
故③正確;
④如圖2,連接EH,F(xiàn)H,
∵∠AHC=∠B+∠BCH=45°+22.5°=67.5°,
∠ACH=90°∠BCH=67.5°,
∴∠AHC=∠ACH,
∴AC=AH,
∵AE⊥CH,
∴CG=GH,
∵CF=CE,
∴GF=GE,
∴四邊形CFHE是菱形,
∴CD∥EH,
∵CD⊥AB,
∴EH⊥AB,
∴△EHB是等腰直角三角形,
∴BE=EH=CE,
∵S△ABE=BEAC,
S△ACE=CEAC,
∴S△ABE=S△ACE,
故④不正確;
⑤如圖2,易得△ADF≌△CDH,
∴DF=DH,
∴∠FHD=45°,
∴△FDH是等腰直角三角形,
∴FH=DF,
∵∠AHC=67.5°,
∴∠FHC=∠FCH=22.5°,
∴CF=FH=DF,
故⑤正確;
綜上所述,正確的是:①③⑤
故答案為:①③⑤.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一張長方形紙片,,().將這張紙片沿著過點的折痕翻折,使點落在邊上的點,折痕交 于點,將折疊后的紙片再次沿著另一條過點的折痕翻折,點恰好與點重合,此時折痕交于點.
(1)在圖中確定點、點和點的位置;
(2)聯(lián)結(jié), 則等于多少°;
(3)用含有、的代數(shù)式表示線段的長.
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【題目】一個不透明的袋子中裝有黑球兩個,白球三個,這些小球除顏色外無其他區(qū)別,從袋子中隨機(jī)摸出一個小球后,放回并搖勻,再隨機(jī)摸出一個小球,則兩次摸出的小球都是黑球的概率為 .
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【題目】某街道改建工程指揮部,要對某路段工程進(jìn)行招標(biāo),接到了甲、乙兩個工程隊的投標(biāo)書. 從投標(biāo)書中得知:甲隊單獨完成這項工程所需天數(shù)是乙隊單獨完成這項工程所需天數(shù)的;若由甲隊先做10天,剩下的工程再由甲、乙兩隊合作30天可以完成.
(1)求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天?
(2)已知甲隊每天的施工費用為0.84萬元,乙隊每天的施工費用為0.56萬元,工程預(yù)算的施工費用為50萬元. 為縮短工期以減少對住戶的影響,擬安排甲、乙兩隊合作完成這項工程,則工程預(yù)算的施工費用是否夠用?若不夠用,需追加預(yù)算多少萬元?請給出你的判斷并說明理由.
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【題目】△ABC中,∠ACB=90°,∠A=α,以C為中心將△ABC旋轉(zhuǎn)θ角到△A1B1C(旋轉(zhuǎn)過程中保持△ABC的形狀大小不變)B點恰落在A1B1上,如圖,則旋轉(zhuǎn)角θ的大小為( )
A.α+10°
B.α+20°
C.α
D.2α
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【題目】如圖,AB為半圓O的直徑,AD、BC分別切⊙O于A,B兩點,CD切⊙O于點E,連接OD、OC,下列結(jié)論:①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③S△AOD:S△BOC=AD2:AO2 , ④OD:OC=DE:OE,⑤OD2=DECD,正確的有( )
A.2個
B.3個
C.4個
D.5個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知BC,DE相交于點O,給出以下三個判斷:①AB∥DE;②BC∥EF;③∠B=∠E,請你以其中兩個判斷作為題設(shè),另外一個判斷作為結(jié)論,寫出所有的命題,指出這些命題是真命題還是假命題,并選擇其中的一個真命題加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點D,交直線AC于點E,∠AEB=80°,那么∠EBC等于( )
A. 15° B. 25° C. 15°或75° D. 25°或85°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,下列判斷錯誤的是( )
A. 如果∠2=∠4,那么AB∥CD B. 如果∠1=∠3,那么AB∥CD
C. 如果∠BAD+∠D=180°,那么AB∥CD D. 如果∠BAD+∠B=180,那么AD∥CD
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