【題目】如圖,△BCD內接于⊙O,直徑AB經過弦CD的中點M,AE交BC的延長線于點E,連接AC,∠EAC=∠ABD=30°.
(1)求證:△BCD是等邊三角形;
(2)求證:AE是⊙O的切線;
(3)若CE=2,求⊙O的半徑.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)⊙O的半徑為2.
【解析】
(1)由AB是⊙O的直徑,M是CD的中點知AB⊥CD,BD=BC,結合∠ABD=∠ABC=30°,即∠CBD=60°即可得證;
(2)先證AE∥CD,由AB⊥CD可得AE⊥AB,據此即可得證;
(3)由AB是直徑可得∠ACB=∠ACE=90°,由∠EAC=30°可得AE=2CE=4,∠ABE=30°可得BE=2AE=8,根據勾股定理可得直徑AB的長,從而得出答案.
證明:(1)∵AB是⊙O的直徑,M是CD的中點,
∴AB⊥CD,
∴BD=BC,
∴∠ABD=∠ABC=30°,即∠CBD=60°,
∴△BCD是等邊三角形;
(2)∵∠EAC=∠ABD,∠ABD=∠ACD,
∴∠EAC=∠ACD,
∴AE∥CD,
由(1)知AB⊥CD,
∴AE⊥AB,
∵點A在⊙O上,
∴AE是⊙O的切線;
(3)∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACE=90°,
∵∠EAC=30°,
∴AE=2CE=4,
在Rt△EAB中,∠ABE=30°,
∴BE=2AE=8,
∴AB===4,
∴⊙O的半徑為2.
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【題目】如圖,在矩形中,點是的中點,的平分線交于點,將沿折疊,點恰好落在上點處,延長,交于點.有下列四個結論:①垂直平分;②平分;③;④.其中,將正確結論的序號全部選對的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【題目】如圖所示,一幢樓房AB背后有一臺階CD,臺階每層高0.2米,且AC=14.5米,NF=0.2米.設太陽光線與水平地面的夾角為α,當α=56.3°時,測得樓房在地面上的影長AE=10米,現有一只小貓睡在臺階的NF這層上曬太陽.
(1)求樓房的高度約為多少米?
(2)過了一會兒,當α=45°時,問小貓能否還曬到太陽?請說明理由.(參考數據:sin56.3°≈0.83,cos56.3°≈0.55,tan56.3°≈1.5)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為(1,0),(0,2),某拋物線的頂點坐標為D(-1,1)且經過點B,連接AB,直線AB與此拋物線的另一個交點為C,則S△BCD:S△ABO=( )
A. 8:1B. 6:1C. 5:1D. 4:1
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,與x軸的一個交點坐標為(﹣1,0),其部分圖象如圖所示,下列結論:①4ac<b2;、②3a+c>0;③當x>0時,y隨x的增大而減小;④當y>0時,x的取值范圍是﹣1<x<3;⑤方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=﹣1,x2=3;其中結論正確的個數是( 。
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】高考英語聽力測試期間,需要杜絕考點周圍的噪音。如圖,點A是某市一高考考點,在位于A考點南偏西15°方向距離125米的點處有一消防隊。在聽力考試期間,消防隊突然接到報警電話,告知在位于C點北偏東75°方向的F點處突發(fā)火災,消防隊必須立即趕往救火。已知消防車的警報聲傳播半徑為100米,若消防車的警報聲對聽力測試造成影響,則消防車必須改道行駛。試問:消防車是否需要改道行駛?說明理由.(取1.732)
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【題目】在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AD⊥BC于點D,P是線段AD上的一個動點,以點P為直角的頂點,向上作等腰直角三角形PBE,連接DE,若在點P的運動過程中,DE的最小值為3,則AD的長為____.
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c經過A(-1,0),C(2,-3)兩點,與y軸交于點D,與x軸交于另一點B.
(1)求此拋物線的解析式及頂點坐標;
(2)若將此拋物線平移,使其頂點為點D,需如何平移?寫出平移后拋物線的解析式;
(3)過點P(m,0)作x軸的垂線(1≤m≤2),分別交平移前后的拋物線于點E,F,交直線OC于點G,求證:PF=EG.
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【題目】如圖,正方形 ABCD 的對稱中心在坐標原點,AB∥x 軸,AD、BC 分別與 x 軸交于 E、F,連接 BE、DF,若正方形 ABCD 的頂點 B,D在雙曲線 y 上,實數 a 滿足 a1-a 1,則四邊形 DEBF 的面積是_____.
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