Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝－x＋4的圖象與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AO上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)正方形PQMN的邊MN經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，t＝　 　秒；

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)正方形PQMN與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)表達(dá)式；

（3）連結(jié)BN，則BN的最小值為 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=t2；②當(dāng)1＜t≤時(shí)，∴S=﹣t2+18t；③當(dāng)＜t≤2時(shí)， S=﹣3t2+12；（3）．

【解析】

(1) 根據(jù)y＝－x＋4容易得出A（6，0），B（0，4），所以當(dāng)正方形PQMN的邊MN經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，正方形邊長(zhǎng)為4，則PQ=AP＝4，進(jìn)一步求出t=；

（2）分三種情況，①利用正方形的面積減去三角形的面積，②利用矩形的面積減去三角形的面積，③利用梯形的面積，即可得出結(jié)論；

（3）先找出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡所在直線的解析式，再用面積求高的方法求出BN的最小值.

解：（1）分別令x=0,y=0,可得 A（6，0），B（0，4），故OB=4.

∴當(dāng)正方形PQMN的邊MN經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，正方形邊長(zhǎng)為4，則PQ=AP＝4，

∴t=;

（2）（2）當(dāng)點(diǎn)Q在原點(diǎn)O時(shí)，OA=6，
∴AP=OA=3，
∴t=3÷3=1，
①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖1，

令x=0，
∴y=4，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∵A（6，0），
∴OA=6，
在Rt△AOB中，tan∠OAB==，
由運(yùn)動(dòng)知，AP=3t，
∴P（6-3t，0），
∴Q（6-6t，0），
∴PQ=AP=3t，
∵四邊形PQMN是正方形，
∴MN∥OA，PN=PQ=3t，
在Rt△APD中，tan∠OAB===，
∴PD=2t，
∴DN=t，
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB，
∴tan∠DCN===，
∴CN=t，
∴S=S正方形PQMN-S△CDN=-t×t=t2；
②當(dāng)1＜t≤時(shí)，如圖2，

同①的方法得，DN=t，CN=t，
∴S=S矩形OENP-S△CDN=3t×（6-3t）-t×t=-t2+18t；
③當(dāng)＜t≤2時(shí)，如圖3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6-3t）=-3t2+12；

∴①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=t2；②當(dāng)1＜t≤時(shí)，∴S=﹣t2+18t；③當(dāng)＜t≤2時(shí)， S=﹣3t2+12；

（3）如圖，

設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡所在直線解析式為y=kx+b.由AP=PN＝3t,可知當(dāng)t=1時(shí)，N（3，3），且直線過A（6，0），易得解析式為y=-x+6.當(dāng)x=0時(shí)，y=6.

直線y=-x+6與y軸交于點(diǎn)C，則C（0，6）.可得OC=6,BC=6-4=2.AC＝6

∴S△ABC=×6×2=6,

當(dāng)BN⊥AC時(shí)，BN最小.

S△ABC=BN×AC,

∴BN==

故答案為