【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點,BE⊥AC,垂足為點F,連接DF,下面四個結(jié)論:①CF=2AF;②tan∠CAD= ;
③DF=DC;④△AEF∽△CAB;⑤ S四邊形CDEF=S△ABF ,其中正確的結(jié)論有( )

A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

【答案】D
【解析】如圖:過D作DM∥BE交AC于N,
①∵四邊形ABCD為矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△AEF∽△CBF,
=
又∵E是AD邊的中點,
∴AE=AD=BC,
=,
即CF=2AF.
故①正確.
②∵四邊形ABCD為矩形,
∴∠ADC=∠ABC=90°,AB=CD,
∴∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠BAF=∠ACD,
又∵BE⊥AC,
∴∠AFE=∠ADC=90°,
∴△BAE∽△ADC,
=
∵AB=CD,AE=AD,
∴CD=AD,
∴tan∠CAD==.
故②正確.
③∵四邊形ABCD為矩形
∴DE∥BM,
∵DM∥BE,
∴四邊形BMDE是平行四邊形,
∴BM=DE=BC,
∴BM=CM,
∴CN=FN,
又∵BE⊥AC,DM∥BE,
∴DN⊥CF,
∴DN垂直平分CF,
∴DF=DC,
故③正確.
④∵四邊形ABCD為矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠ABC=90°,
∴∠EAC=∠ACB,
又∵BE⊥AC,
∴∠AFE=∠ABC=90°,
∴△AEF∽△CAB.
故④正確.
⑤∵四邊形ABCD為矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△AEF∽△CBF,
=
又∵E是AD邊的中點,
∴AE=AD=BC,
=,
∴S△AEF=S△ABF ,S△AEF=S△ABE,S△ABE=S矩形ABCD
∴S△ABF=S矩形ABCD,
∴S△AEF=S矩形ABCD,
又∵S四邊形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD,
∴S四邊形CDEF=S△ABF.
故⑤正確.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的面積的相關知識,掌握三角形的面積=1/2×底×高,以及對平行四邊形的判定與性質(zhì)的理解,了解若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積.

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