Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線并在其上取一點(diǎn)C，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線交AC于E，連接AD．

（1）求證：△CDE∽△CAD；

（2）若AB=2，AC=，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則∠B+∠BAD=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)，由AC為⊙O的切線得∠BAD+∠CAD=90°，則∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，則∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根據(jù)三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；

（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出OC=3，則CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根據(jù)相似比可計(jì)算出CE，再由AE=AC﹣CE可得AE的值．

試題解析：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC為⊙O的切線，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；

（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴，即，∴CE=，∴AE=AC﹣CE==．