解:(1)由題意,得OP=1,BO=2 2,CP=1.
在Rt△BOP中
∵BP
2=OP
2+BO
2,
∴(BC+1)
2=12+(2
)
2,
∴BC=2.
(2)設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,
根據(jù)題意得:
,
解得:
,
則拋物線的解析式是:y=x
2-3x+2.
(3)如圖所示,過點C作CE⊥x軸于E,CF⊥y軸于F.
在△PBO中,
∵CF∥BO,
∴
=
.
即
=
,
解得CF=
.
同理可求得CE=
.
因此C(-
,
).
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0).
把A(0,2),C(-
,
)兩點代入關(guān)系式,得
,
解得
.
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=
x+2.
(4)如圖所示,在x軸上存在點B,使△BOP與△AOD相似.
∵∠OPB>∠OAD,
∴∠OPB≠∠OAD.
故若要△BOP與△AOD相似,
則∠OBP=∠OAD.
又∵∠OPB=2∠OAD,
∴∠OPB=2∠OBP.
∵∠OPB+∠OBP=90°,
∴3∠OBP=90°,
∴∠OBP=30°.
因此OB=cot30°•OP=
.
∴B
1點坐標為(-3,0).
根據(jù)對稱性可求得符合條件的B
2坐標(
,0).
綜上,符合條件的B點坐標有兩個:
B
1(-
,0),B
2(
,0).
分析:(1)在直角三角形BOP中,根據(jù)勾股定理列方程求解;
(2)利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式;
(3)要求直線AC的解析式,關(guān)鍵是求得點C的坐標.過點C作CE⊥x軸于E,CF⊥y軸于F,根據(jù)平行線分線段成比例定理求得CE、CF的長,再根據(jù)點C所在的象限寫出它的坐標,從而根據(jù)待定系數(shù)法寫出直線的解析式.
(4)要使△BOP相似于△AOD,因為∠OPB>∠OAD,所以∠OBP=∠OAD,結(jié)合圓周角定理,得∠OPB=2∠OBP,從而求得∠OBP=30°,則OB=cot30°•OP=
,即可寫出點B的坐標,再根據(jù)對稱性可以寫出點B的另一種情況.
點評:此題綜合運用了勾股定理、切割線定理、圓周角定理、平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定方法.要求能夠熟練運用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式.