【題目】(1)如圖1,銳角△ABC中,分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABE和等邊△ACD,連接BD,CE,試猜想BD與CE的大小關(guān)系,并說明理由.

【深入探究】

(2)如圖2,△ABC中,∠ABC=45°,AB=5cm,BC=3cm,分別以AB、AC為邊向外作正方形ABNE和正方形ACMD,連接BD,求BD的長.

(3)如圖3,在(2)的條件下,以AC為直角邊在線段AC的左側(cè)作等腰直角△ACD,求BD的長.

【答案】(1)BD =CE,理由見解析;(2)BD長是cm; (3) BD長是(-3)cm.

【解析】試題分析:(1)證明△EAC與△BAD全等即可得證;

(2)連接EC、EB,通過證明△EAC與△BAD 全等,得到BD=CE.由勾股定理可得EC的長,從而可得BD長;

(3)如圖,在線段AC的右側(cè)過點A作AE⊥AB于A,交BC的延長線于點E,通過證明△EAC與△BAD全等,從而得BD=CE,從而求得BD長.

試題解析:(1)BD =CE.

理由:∵△ABE和△ACD都是等邊三角形,∴∠BAE=∠CAD=60°,AE=AB,AC=AD,

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD, ∴△EAC≌△BAD (SAS) ,∴BD=CE.

(2)如圖,連接EC、EB.

在正方形ABNE和正方形ACMD中

,AE=AB ,∠BAE=,∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,∴△EAC≌△BAD (SAS) ,∴BD=CE.

∵AE=AB=5,∴BE=, ∠ABE=∠AEB=45.

又∵∠ABC=45,∴∠ABC+∠ABE=45+45=90, ∴EC===,

∴BD=CE= (cm).

答:BD長是cm.

(3)如圖,在線段AC的右側(cè)過點A作AE⊥AB于A,交BC的延長線于點E,

∴∠BAE=90,

又∵∠ABC=45,∴∠E=∠ABC=45,∴AE=AB=5,BE==

又∵∠ACD=∠ADC=45 ,∴∠BAE= ∠DAC=90, ∴∠BAE∠BAC=∠DAC∠BAC,

即∠EAC=∠BAD,∴△EAC≌△BAD (SAS) , ∴BD=CE.

∵BC=3,∴BD=CE=(-3)(cm).

答:BD長是(-3)cm.

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