Question

如圖1，Rt△ABC兩直角邊的邊長為AC＝3，BC＝4．

（1）如圖2，⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)X，與邊BC相切于點(diǎn)Y．請你在圖2中作出并標(biāo)明⊙O的圓心（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）P是這個(gè)Rt△ABC上和其內(nèi)部的動點(diǎn)，以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切．設(shè)⊙P的面積為S，你認(rèn)為能否確定S的最大值？若能，請你求出S的最大值；若不能，請你說明不能確定S的最大值的理由．

Answer 1

(1)作圖見解析；（2）.

試題分析：（1）作出∠B的角平分線BD，再過X作OX⊥AB，交BD于點(diǎn)O，則O點(diǎn)即為⊙O的圓心；
（2）由于⊙P與△ABC哪兩條邊相切不能確定，故應(yīng)分⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切；⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時(shí)；⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時(shí)三種情況進(jìn)行討論．
試題解析：（1）如圖所示：

①以B為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交BC、AB于點(diǎn)G、H；②分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫圓，兩圓相交于D，連接BD；③過X作OX⊥AB，交直線BD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為⊙O的圓心．
（2）①當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切時(shí)，由角平分線的性質(zhì)可知，動點(diǎn)P是∠ABC的平分線BM上的點(diǎn)，如圖1，在∠ABC的平分線BM上任意確定點(diǎn)P₁（不為∠ABC的頂點(diǎn)）
∵OX=BOsin∠ABM，P₁Z=BPsin∠ABM，當(dāng)BP₁＞BO時(shí)，P₁Z＞OX即P與B的距離越大，⊙P的面積越大，這時(shí)，BM與AC的交點(diǎn)P是符合題意的、BP長度最大的點(diǎn)； 如圖2，

∵∠BPA＞90°，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，則E在邊AB上，
∴以P為圓心、PC為半徑作圓，則⊙P與CB相切于C，與邊AB相切于E，即這時(shí)⊙P是符合題意的圓，
時(shí)⊙P的面積就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴AB=，
設(shè)PC=x，則PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA²=PE²+AE²，
∴（1-x）²=x²+（-2）²，
∴x=2-4；
②如圖3，

同理可得：當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時(shí)，設(shè)PC=y，則（2-y）²=y²+（-1）²，
∴y=；
③如圖4，

同理可得，當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時(shí)，設(shè)PF=z，
∵△APF∽△PBE，
∴PF：BE=AF：PE，
∴，
∴z=．
由①、②、③可知，
＞＞
∴z＞y＞x，
∴⊙P的面積S的最大值為π．
考點(diǎn):1. 切線的性質(zhì)；2.角平分線的性質(zhì)；3.勾股定理；4.作圖—復(fù)雜作圖．