Question

【題目】已知拋物線：(為常數(shù))的頂點為．

(1)求點的坐標；(用含的式子表示)

(2)在同一平面直角坐標系中，存在函數(shù)圖象，點在圖象上，點在拋物線上，對于任意的實數(shù)，都有點，關于點對稱．

①當時，求圖象對應函數(shù)的解析式；

②當時，都有成立，結合圖象，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點的坐標為；（2）①，②所求的取值范圍為或．

【解析】

（1）把二次函數(shù)化為頂點式，即可得到答案；

（2）①根據(jù)題意，由軸對稱的性質，有，然后整理得到，即可得到答案；

②根據(jù)題意，由兩個函數(shù)圖形的性質，可分成3種情況進行分析，畫出圖像，分別求出t的取值范圍即可．

（1）

∴頂點的坐標為；

（2）①當時，得的解析式為：，

點在上，∴

∵點與點關于點對稱，則點，到點的距離相等，此三點橫坐標相同，有.

∴

整理，得，

由于為任意實數(shù)，令為自變量，為.

即可得的解析式為：；

②關于拋物線的性質：

點在上，∴

由：，知

拋物線開口向上，對稱軸為，頂點，且圖象恒過點.

∴當時，圖象的隨著的增大而增大.

當時，取最大值；當時，取最小值；

最大值比最小值大1.

關于圖象的性質：

∵點與點關于點對稱，

有，

，

整理，得

所以，圖象的解析式為：.

配方，得

∴圖象為一拋物線，開口向下，對稱軸為，頂點，且圖象恒過點.

∴當時，圖象的隨著的增大而增大.

當時，取最大值；當時，取最小值，即過；最大值比最小值大1.

情況1：當，兩點重合，即兩個函數(shù)恰好都經(jīng)過，時，把代入得，解得，或.

分別對應圖3，圖4兩種情形，由圖可知，當，或時，與重合，即有，不合題意，舍去；

情況2：當點在點下方，即時，大致圖象如圖1，當時，大致圖象如圖2，都有點在點的上方，即成立，符合題意；

情況3：當點在點上方，即時，大致圖象如圖5，圖6，當時，存在在的下方，即存在，不符合題意，舍去；

綜上所述，所求的取值范圍為：或.