Question

【題目】定義：我們把關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱的兩條拋物線叫“孿生拋物線”；（1）已知拋物線L：y＝﹣x2+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，求L關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）的“孿生拋物線”W；（2）點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且△BCN是以BC為斜邊的等腰直角三角形，在x軸是否存在一點(diǎn)M（m，0），使拋物線L關(guān)于點(diǎn)M的“孿生拋物線”過點(diǎn)N，如果存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4；（2）存在，（，0），（，0），（，0），（，0）

【解析】

（1）根據(jù)題意畫出L的圖象，由W與L是“孿生拋物線”關(guān)于原點(diǎn)O（0，0）中心對(duì)稱，則以判斷W與y軸交于點(diǎn)（0，﹣4）且開口向上，且對(duì)稱軸不變，畫出W圖象直接寫出解析式即可；

（2）根據(jù)題意作BC的中垂線，在中垂線上找到點(diǎn)N，使得NB⊥NC且，NB＝NC．發(fā)現(xiàn)這樣的點(diǎn)N在BC的中垂線上有兩個(gè)，需分情況討論，當(dāng)N在BC左側(cè)時(shí)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，t），拋物線L的孿生拋物線解析式為y＝（x±2m）2﹣4然后利用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可．

解：（1）∵拋物線L與拋物線W關(guān)于原點(diǎn)O（0，0）成中心對(duì)稱

∴W與L開口方向相反，對(duì)稱軸不變，與x軸交于點(diǎn)（﹣2，0）和點(diǎn)（2，0），與y軸交于點(diǎn)（0，﹣4）

依題意畫圖象

∴拋物線W的解析式為，y＝x2﹣4

（2）存在．

當(dāng)N在BC左側(cè)時(shí)如圖2﹣1及圖2﹣2

∵△BCN是以BC為斜邊的等腰直角三角形

∴在BC上取其中點(diǎn)E并過E作線段EN⊥BC，且截取EN＝BC

∵設(shè)L關(guān)于M（m，0）的“孿生拋物線”解析式為y＝（x﹣2m）2﹣4，N（n，t）．

則t＝（n﹣2m）2﹣4．

過N作線段FG⊥x軸于點(diǎn)G，連接CF∥x軸．

由△BCN是以BC為斜邊的等腰直角三角形得BN＝CN，

又∵∠FNC+∠CNB+∠BNG＝180°，∠CNB＝90°

∴∠FNC+∠BNG＝90°

又∵∠FNV+∠NCF＝90°

∴∠NCF＝∠BNG

∴在△FNC與△GBN中

∴△FNC≌△GBN（AAS）

∴FN＝BG＝2﹣n

又∵FN＝4﹣t＝4﹣[（n﹣2m）2﹣4]．＝8﹣（n﹣2m）2

∴2﹣n＝8﹣（n﹣2m）2

又∵GO＝FC＝NG

∴t＝﹣n，即（n﹣2m）2﹣4＝﹣n．

∴（n﹣2m）2＝4﹣n

∴8﹣（n﹣2m）2＝8﹣（4﹣n）＝4+n

∴2﹣n＝4+n

解得，n＝﹣1

把n＝﹣1代入（n﹣2m）2＝4﹣n中得，（﹣1﹣2m）2＝4﹣（﹣1）

解得，m＝

故此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)可以為，（，0），（，0）

當(dāng)N在BC右側(cè)時(shí)如圖3﹣1及3﹣2

設(shè)L關(guān)于M（m，0）的“孿生拋物線”解析式為y＝（x﹣2m）2﹣4，N（n，t）．

同理易證△CNF≌△NBG（AAS）

∴FN＝BG

即4﹣t＝2﹣n

解得，t＝6﹣n

∴N（n，6﹣n）

又∵△BCN為等腰直角三角形

∴BN＝BC＝

又∵在Rt△NBG中，BG2+NG2＝BN2

∴（n﹣2）2+（6﹣n）2＝10

整理得，n2﹣8n+15＝0

解得，n＝3或n＝5

∴N（3，3）或N（5，1）

當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為（5，1）時(shí)，△BNC不是等腰直角三角形，這與題目已知條件相矛盾，

故N點(diǎn)坐標(biāo)只能�。�3，3）．

又∵N在L的“孿生拋物線”上，

則把N（3，3）代入y＝（x﹣2m）2﹣4中得，

3＝（3﹣2m）2﹣4

解得，m＝或m＝

故此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．

綜上所述，滿足題意的M點(diǎn)的坐標(biāo)可以為（，0），（，0），（，0），（，0）．