【題目】1,拋物線與x軸交于A(﹣1,0),B3,0),頂點為D1,﹣4),點Py軸上一動點.

1)求拋物線的解析式;

2)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點P,使BDP是等腰三角形?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

3)如圖2,點在拋物線上,求的最小值.

【答案】1yx22x3;(2)點P坐標(biāo)為(0,﹣)或(0,﹣4)或(0,﹣1;3

【解析】

1)由已知拋物線頂點坐標(biāo)為D,設(shè)拋物線的解析式為yax124,再把點A代入即可求得二次項系數(shù)a的值,由此即可求得拋物線的解析式;(2)由點B、D坐標(biāo)可求BD的長.設(shè)點P坐標(biāo)為(0,t),用t表示BP2,DP2.對BPBD、DPBDBPDP三種情況進(jìn)行分類討論計算,解方程求得t的值并討論是否合理即可;(3)由點B、C坐標(biāo)可得∠BCO45°,所以過點PBC垂線段PQ即構(gòu)造出等腰直角△PQC,可得PQPC,故有MP+PCMP+PQ.過點MBC的垂線段MH,根據(jù)垂線段最短性質(zhì),可知當(dāng)點M、PQ在同一直線上時,MP+PCMP+PQMH最小,即需求MH的長.連接MB、MC構(gòu)造△BCM,利用y軸分成△BCD與△CDM求面積和即得到△BCM面積,再由SBCMBCMH即求得MH的長.

解:(1)∵拋物線頂點為D1,﹣4),

∴設(shè)拋物線的解析式為yax124,

A(﹣1,0)在拋物線上

4a40,解得:a1

∴拋物線的解析式為y=(x124x22x3

2)在y軸的負(fù)半軸上存在點P,使BDP是等腰三角形.

B3,0),D1,﹣4

BD2=(312+0+4220

設(shè)y軸負(fù)半軸的點P坐標(biāo)為(0,t)(t0

BP232+t2,DP212+t+42

①若BPBD,則9+t220

解得:t1(舍去),t2=﹣

②若DPBD,則1+t+4220

解得:t1-4(舍去),t2=﹣4

③若BPDP,則9+t21+t+42

解得:t=﹣1

綜上所述,點P坐標(biāo)為(0,﹣)或(0,﹣4)或(0,﹣1

3)連接MC、MB,MBy軸于點D,過點PPQBC于點Q,過點MMHBC于點H

x0時,yx22x3=﹣3

C0,﹣3);

B3,0),∠BOC90°;

∴∠OBC=∠OCB45°,BC3

∵∠PQC90°

RtPQC中,sinBCO

PQPC,

MP+PCMP+PQ;

MHBC于點H,

∴當(dāng)點MP、Q在同一直線上時,MP+PCMP+PQMH最小,

M(﹣,m)在拋物線上

m=(﹣2(﹣)﹣3

M(﹣,

設(shè)直線MB解析式為ykx+b

解得: ,

∴直線MBy=﹣x+,

MBy軸交點D0),

CD﹣(﹣3)=,

SBCMSBCD+SCDMCDBO+CD|xM|CDxBxM)=××3+)=,

SBCMBCMH,

MH=,

MP+PC的最小值為.

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