Question

【題目】如圖①，C為線段BE上的一點，分別以BC和CE為邊在BE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分別是線段AF和GD的中點，連接MN

（1）線段MN和GD的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是_____；

（2）將圖①中的正方形CEFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，如圖②，（1）的結(jié)論是否成立？說明理由；

（3）已知BC=7，CE=3，將圖①中的正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)一周，其他條件不變，直接寫出MN的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】 MN=DG，MN⊥DG； （1）的結(jié)論仍然成立．

【解析】（1）連接FN并延長，與AD交于點S，如圖①，易證△SDN≌△FGN，則有DS=GF，SN=FN，然后運用三角形中位線定理就可解決問題；

（2）過點M作MT⊥DC于T，過點M作MR⊥BC于R，連接FC、MD、MG，如圖②，根據(jù)平行線分線段成比例可得BR=GR=BG，DT=ET=DE，根據(jù)梯形中位線定理可得MR=（FG+AB），MT=（EF+AD），從而可得MR=MT，RG=TD，由此可得△MRG≌△MTD，則有MG=MD，∠RMG=∠TMD，則有∠RMT=∠GMD，進而可證到△DMG是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，就可解決問題；

（3）連接GM到點P，使得PM=GM，延長GF、AD交于點Q，連接AP，DP，DM如圖③，易證△APD≌△CGD，則有PD=DG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥PG，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MN=DG．要求MN的最大值和最小值，只需求DG的最大值和最小值，由GC=CE=3可知點G在以點C為圓心，3為半徑的圓上，再由DC=BC=7，就可求出DG的最大值和最小值．

解：（1）連接FN并延長，與AD交于點S，如圖①．

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形，

∴∠D=90°，AD=DC，GC=GF，AD∥BE∥GF，

∴∠DSN=∠GFN．

在△SDN和△FGN中，

∠DSN=∠GFN，∠SND=∠FNG，DN=GN，，

∴△SDN≌△FGN，

∴DS=GF，SN=FN．

∵AM=FM，

∴MN∥AS，MN=AS，

∴∠MNG=∠D=90°，

MN=（AD﹣DS）=（DC﹣GF）=（DC﹣GC）=DG．

故答案為MN=DG，MN⊥DG；

（2）（1）的結(jié)論仍然成立．

理由：過點M作MT⊥DC于T，過點M作MR⊥BC于R，連接FC、MD、MG，如圖②，

則A、F、C共線，MR∥FG∥AB，MT∥EF∥AD．

∵AM=FM，

∴BR=GR=BG，DT=ET=DE，

∴MR=（FG+AB），MT=（EF+AD）．

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形，

∴FG=GC=EC=EF，AB=BC=DC=AD，

∴MR=MT，RG=TD．

在△MRG和△MTD中，

MR=MT，∠MRG=∠MTD，RG=TD，

∴△MRG≌△MTD，

∴MG=MD，∠RMG=∠TMD，

∴∠RMT=∠GMD．

∵∠MRC=∠RCT=∠MTC=90°，

∴四邊形MRCT是矩形，

∴∠RMT=90°，

∴∠GMD=90°．

∵MG=MD，∠GMD=90°，DN=GN，

∴MN⊥DG，MN=DG．

（3）延長GM到點P，使得PM=GM，延長GF、AD交于點Q，連接AP，DP，DM如圖③，

在△AMP和△FMG中，

AM=FM，∠AMP=∠FMG，PM=GM，

∴△AMP≌△FMG，

∴AP=FG，∠APM=∠FGM，

∴AP∥GF，

∴∠PAQ=∠Q，

∵∠DOG=∠ODQ+∠Q=∠OGC+∠GCO，

∠ODQ=∠OGC=90°，

∴Q=∠GCO，

∴∠PAQ=∠GCO．

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形，

∴DA=DC，GF=GC，

∴AP=CG．

在△APD和△CGD中，

AP=CG，∠PAD=∠GCD，AD=CD，

∴△APD≌△CGD，

∴PD=DG．

∵PM=GM，

∴DM⊥PG．

∵DN=GN，

∴MN=DG．

∵GC=CE=3，

∴點G在以點C為圓心，3為半徑的圓上，

∵DC=BC=7，

∴DG的最大值為7+3=10，最小值為7﹣3=4，

∴MN的最大值為5，最小值為2．

“點睛”本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線分階段成比例、梯形中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓的定義、平行線的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強，有一定的難度，證到△DMG是等腰直角三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證到MN=DG是解決第（3）小題的關(guān)鍵.