Question

【題目】如圖，已知拋物線經過，，三點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在直線上方的該拋物線上是否存在一點，使得的面積最大？若存在，求出點的坐標及面積的最大值；若不存在，請說明理由．

（3）是直線右側的該拋物線上一動點，過作軸，垂足為，是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= -x2+x-2；（2）存在，當D（2，1），△DAC面積的最大值為4；（3）存在，符合條件的點P為P1（2，1）和P2（5，-2）

【解析】

（1）由拋物線經過A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三點，利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式；

（2）設D點的橫坐標為t(0＜t＜4)，則D點的縱坐標為-t2+t-2，過D作y軸的平行線交AC于E．即可求得DE的長，繼而可求得S△DCA=-(t-2)2+4，然后由二次函數(shù)的性質，即可求得點D的坐標及△DCA面積的最大值；

（3）設P(m，-m2+m-2)，則m＞1；然后分兩種情況求解：Ⅰ．當1＜m＜4時，①當時，△APM∽△ACO，②當時，△APM∽△CAO；Ⅱ．當m＞4時，與Ⅰ同理即可求解．

∵該拋物線過點C(0，-2)，

∴可設該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2．

將A(4，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx-2，

得得： ，

∴該拋物線的解析式為y= -x2+x-2；

（2）存在．

如圖1，

設D點的橫坐標為t(0＜t＜4)，則D點的縱坐標為-t2+t-2．過D作y軸的平行線交AC于E．

設直線AC的解析式為：y=mx+n，

則，

解得：，

由題意可求得直線AC的解析式為y=x-2．

∴E點的坐標為(t，t-2)．

∴DE=t2+-2-(t-2)=-t2+2t．

∴S△DCA=S△CDE+S△ADE=×DE×OA=×(-t2+2t)×4= -t2+4t= -(t-2)2+4．

∴當t=2時，S最大=4．

∴當D(2，1)，△DAC面積的最大值為4；

（3）存在．

如圖2，設P(m，m2+m-2)，則m＞1．

Ⅰ．當1＜m＜4時，

則AM=4-m，PM=m2+m-2．

又∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①當時，△APM∽△ACO，

∴，

∴4-m=2(m2+m-2)，

解得m1=2，m2=4（舍去），

∴P1（2，1）；

②當時，△APM∽△CAO，

∴，

∴2(4-m)=m2+m-2，

解得m3=4（舍去），m4=5（舍去），

∴當1＜m＜4時，P1(2，1)；

Ⅱ．當m＞4時，同理可求P2(5，-2)．

綜上所述，符合條件的點P為P1(2，1)和P2(5，-2)．