Question

（2013•貴陽）如圖，在平面直角坐標系中，有一條直線l：y=-

3

3

x+4與x軸、y軸分別交于點M、N，一個高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移．
（1）在平移過程中，得到△A₁B₁C₁，此時頂點A₁恰落在直線l上，寫出A₁點的坐標

（

3

，3）

；
（2）繼續(xù)向右平移，得到△A₂B₂C₂，此時它的外心P恰好落在直線l上，求P點的坐標；
（3）在直線l上是否存在這樣的點，與（2）中的A₂、B₂、C₂任意兩點能同時構(gòu)成三個等腰三角形？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形ABC的高為3，得出A₁點的縱坐標為3，再代入y=-

3

3

x+4即可；
（2）設(shè)P（x，y），連接A₂P并延長交x軸于點H，連接B₂P，先求出A₂B₂=2

3

，HB₂=

3

，根據(jù)點P是等邊三角形A₂B₂C₂的外心，得出PH=1，將y=1代入y=-

3

3

x+4，即可得出點P的坐標；
（3）根據(jù)點P是等邊三角形A₂B₂C₂的外心，得出△PA₂B₂，△PB₂C₂，△PA₂C₂是等腰三角形，得P（3

3

，1），由（2）得，C₂（4

3

，0），點C₂滿足直線y=-

3

3

x+4的關(guān)系式，得出點C₂與點M重合，∠PMB₂=30°，設(shè)點Q滿足的條件，△QA₂B₂，△B₂QC₂，△A₂QC₂能構(gòu)成等腰三角形，則QA₂=QB₂，B₂Q=B₂C₂，A₂Q=A₂C₂，作QD⊥x軸與點D，連接QB₂，根據(jù)QB₂=2

3

，∠QB₂D=2∠PMB₂=60°，求出Q（

3

，3），設(shè)點S滿足的條件，△SA₂B₂，△C₂B₂S，△C₂SA₂是等腰三角形，則SA₂=SB₂，C₂B₂=C₂S，C₂A₂=C₂S，作SF⊥x軸于點F，根據(jù)SC₂=2

3

，∠SB₂C₂=∠PMB₂=30°，求出S（4

3

-3，

3

），
設(shè)點R滿足的條件，△RA₂B₂，△C₂B₂R，△C₂A₂R能構(gòu)成等腰三角形，則RA₂=RB₂，C₂B₂=C₂R，C₂A₂=C₂R，作RE⊥x軸于點E，根據(jù)RC₂=2

3

，∠RC₂E=∠PMB₂=30°，R（4

3

+3，-

3

）．

解答：解：（1）∵等邊三角形ABC的高為3，
∴A₁點的縱坐標為3，
∵頂點A₁恰落在直線l上，
∴3=-

3

3

x+4，
解得；x=

3

，
∴A₁點的坐標是（

3

，3），
故答案為：（

3

，3）；

（2）設(shè)P（x，y），連接A₂P并延長交x軸于點H，連接B₂P，
在等邊三角△A₂B₂C₂中，高A₂H=3，
∴A₂B₂=2

3

，HB₂=

3

，
∵點P是等邊三角形A₂B₂C₂的外心，
∴∠PB₂H=30°，
∴PH=1，即y=1，
將y=1代入y=-

3

3

x+4，
解得：x=3

3

，
∴P（3

3

，1）；

（3）∵點P是等邊三角形A₂B₂C₂的外心，
∴△PA₂B₂，△PB₂C₂，△PA₂C₂是等腰三角形，
∴點P滿足的條件，由（2）得P（3

3

，1），
由（2）得，C₂（4

3

，0），點C₂滿足直線y=-

3

3

x+4的關(guān)系式，
∴點C₂與點M重合，
∴∠PMB₂=30°，
設(shè)點Q滿足的條件，△QA₂B₂，△B₂QC₂，△A₂QC₂能構(gòu)成等腰三角形，
此時QA₂=QB₂，B₂Q=B₂C₂，A₂Q=A₂C₂，
作QD⊥x軸與點D，連接QB₂，
∵QB₂=2

3

，∠QB₂D=2∠PMB₂=60°，
∴QD=3，
∴Q（

3

，3），
設(shè)點S滿足的條件，△SA₂B₂，△C₂B₂S，△C₂SA₂是等腰三角形，
此時SA₂=SB₂，C₂B₂=C₂S，C₂A₂=C₂S，
作SF⊥x軸于點F，
∵SC₂=2

3

，∠SB₂C₂=∠PMB₂=30°，
∴SF=

3

，
∴S（4

3

-3，

3

），
設(shè)點R滿足的條件，△RA₂B₂，△C₂B₂R，△C₂A₂R能構(gòu)成等腰三角形，
此時RA₂=RB₂，C₂B₂=C₂R，C₂A₂=C₂R，
作RE⊥x軸于點E，
∵RC₂=2

3

，∠RC₂E=∠PMB₂=30°，
∴ER=

3

，
∴R（4

3

+3，-

3

），
答：存在四個點，分別是P（3

3

，1），Q（

3

，3），S（4

3

-3，

3

），R．（4

3

+3，-

3

）．

點評：此題考查了一次函數(shù)綜合，用到的知識點是一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形、外心、坐標等，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用有關(guān)性質(zhì)，求出所有符合條件的點的坐標．