【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過點A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三點,點D與點C關于x軸對稱,點P是線段AB上的一個動點,設點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q,交直線BD于點M.
(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式;
(2)求證:∠ACB=90°;
(3)在點P運動過程中,是否存在點Q,使得△BQM是直角三角形?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由;
(4)連接AC,將△AOC繞平面內(nèi)某點H順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A1O1C1,點A、O、C的對應點分別是點A1、O1、C1、若△A1O1C1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“和諧點”,請直接寫出“和諧點”的個數(shù)和點A1的橫坐標.
【答案】(1)y=﹣+x+2;(2)見解析;(3)Q(3,2)或Q(﹣1,0);(4)兩個和諧點; A1的橫坐標是1;.
【解析】
(1)把點A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點的坐標代入函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法求解;
(2)先求出AB、AC、BC的長度,根據(jù)勾股定理即可證明;
(3)分兩種情況分別討論,當∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q點的坐標.
(4)兩個和諧點;AO=1,OC=2,設A1(x,y),則C1(x+2,y﹣1),O1(x,y﹣1),當A1、C1在拋物線上時和O1、C1在拋物線上時,分兩種情況列方程組可得A1的橫坐標.
(1)設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,
將點A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)代入解析式,
∴,∴,
∴;
(2)證明:∵,,, ∴,即∠ACB=90°;
(3)∵點C與點D關于x軸對稱,∴D(0,﹣2).
設直線BD的解析式為y=kx﹣2.
∵將(4,0)代入得:4k﹣2=0,
∴k=.∴直線BD的解析式為y=x﹣2.
當P點與A點重合時,△BQM是直角三角形,此時Q(﹣1,0);
當BQ⊥BD時,△BQM是直角三角形,
則直線BQ的直線解析式為y=﹣2x+8,
∴,可求x=3或x=4(舍)
∴x=3;
∴Q(3,2)或Q(﹣1,0);
(4)兩個和諧點;
AO=1,OC=2,
設A1(x,y),則C1(x+2,y﹣1),O1(x,y﹣1),
①當A1、C1在拋物線上時,
∴,∴,
∴A1的橫坐標是1;
當O1、C1在拋物線上時,
,∴,
∴A1的橫坐標是.
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【題目】如圖,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD邊于點E,將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置,并延長BE交DF于點G.
(1)求證:△BDG∽△DEG;
(2)若EGBG=4,求BE的長.
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【題目】如圖,AB為⊙O直徑,D為弧AC的中點,DG⊥AB于G,交AC于E,AC、BD相交于F.
(1)求證:AE=DE;
(2)若AG=2,DG=4,求AF的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)A(﹣2,m),過點作AB⊥x軸.垂足為點B,且△OAB的面積為1.
(1)求k和m的值;
(2)點C(x,y)在反比例的圖象上,當1≤x≤3時,求函數(shù)值y的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系內(nèi), 的三個頂點坐標分別為 (2,-4), (4,-4), (1,-1).
(1)畫出關于軸對稱的,直接寫出點的坐標;
(2)畫出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的;
(3)在(2)的條件下,求線段掃過的面積(結果保留π).
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【題目】如圖所示,點P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的動點,過點P分別作PE⊥BC于點E,PF⊥DC于點F,連接AP并延長,交射線BC于點H,交射線DC于點M,連接EF交AH于點G,當點P在BD上運動時(不包括B、D兩點),以下結論中:①MF=MC;②AP=EF;③AH⊥EF;④AP2=PMPH;⑤EF的最小值是.其中正確結論有( )
A.2個B.3個C.4個D.5個
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,過原點O及A(8,0)、C(0,6)作矩形OABC,連接AC,一個直角三角形PDE的直角頂點P始終在對角線AC上運動(不與A、C重合),且保持一邊PD始終經(jīng)過矩形頂點B,PE交x軸于點Q
(1)=______;
(2)在點P從點C運動到點A的過程中,的值是否發(fā)生變化?如果變化,請求出其變化范圍,如果不變,請說明理由,并求出其值;
(3)若將△QAB沿直線BQ折疊后,點A與點P重合,則PC的長為_____.
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【題目】綜合與探究
如圖,拋物線經(jīng)過點A(-2,0),B(4,0)兩點,與軸交于點C,點D是拋物線上一個動點,設點D的橫坐標為.連接AC,BC,DB,DC,
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時,求的值;
(3)在(2)的條件下,若點M是軸上的一個動點,點N是拋物線上一動點,試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,請直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】某商場舉辦抽獎活動,規(guī)則如下:在不透明的袋子中有2個紅球和2個黑球,這些球除顏色外都相同,顧客每次摸出一個球,若摸到紅球,則獲得1份獎品,若摸到黑球,則沒有獎品。
(1)如果小芳只有一次摸球機會,那么小芳獲得獎品的概率為 ;
(2)如果小芳有兩次摸球機會(摸出后不放回),求小芳獲得2份獎品的概率。(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)
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