【題目】如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,﹣2),頂點為D,對稱軸交x軸于點E.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)M為該拋物線對稱軸左側(cè)上的一點,過點M作直線MN∥x軸,交該拋物線于另一點N.是否存在點M,使四邊形DMEN是菱形?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)連接CE(如圖2),設(shè)點P是位于對稱軸右側(cè)該拋物線上一點,過點P作PQ⊥x軸,垂足為Q.連接PE,請求出當△PQE與△COE相似時點P的坐標.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣2;(2)點M坐標為(1﹣,﹣);(3)點P的坐標為(5,8)或(2,﹣2)或(,)或(,).
【解析】
(1)由A、B兩點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達式;
(2)先求出頂點D(1,﹣),則DE=,根據(jù)四邊形DMEN是菱形,點M的縱坐標為﹣,令x2﹣x﹣2=﹣,解方程,即可求出點M坐標.
(3)分△COE∽△PQE和△COE∽△EQP兩種情況進行討論.
解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),
將點C(0,﹣2)代入,得:﹣3a=﹣2,
解得a=,
則拋物線解析式為
(2)∵y=x2﹣x﹣2=(x﹣1)2﹣,
∴頂點D(1,﹣),即DE=,
∵四邊形DMEN是菱形,
∴點M的縱坐標為﹣,
則x2﹣x﹣2=﹣,
解得x=1±,
∵M為該拋物線對稱軸左側(cè)上的一點,
∴x<1,
則x=1﹣,
∴點M坐標為(1﹣,﹣);
(3)∵C(0,﹣2),E(1,0),
∴OC=2,OE=1,
如圖,設(shè)P(m, m2﹣m﹣2)(m>1),
則PQ=|m2﹣m﹣2|,EQ=m﹣1,
①若△COE∽△PQE,則 即
解得m=0(舍)或m=5或m=2或m=﹣3(舍),
此時點P坐標為(5,8)或(2,﹣2);
②若△COE∽△EQP,則即
解得m=(負值舍去)或m=,
此時點P的坐標為(,)或(,);
綜上,點P的坐標為(5,8)或(2,﹣2)或(,)或(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了弘揚我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的偉大成就,某校九年級進行了一次數(shù)學(xué)知識競賽,并設(shè)立了以我國古代數(shù)學(xué)家名字命名的四個獎項:“祖沖之獎”、“劉徽獎”、“趙爽獎”和“楊輝獎”,根據(jù)獲獎情況繪制成如圖1和圖2所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,并得到了獲“祖沖之獎”的學(xué)生成績統(tǒng)計表:
“祖沖之獎”的學(xué)生成績統(tǒng)計表:
分數(shù)分 | 80 | 85 | 90 | 95 |
人數(shù)人 | 4 | 2 | 10 | 4 |
根據(jù)圖表中的信息,解答下列問題:
這次獲得“劉徽獎”的人數(shù)是多少,并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
獲得“祖沖之獎”的學(xué)生成績的中位數(shù)是多少分,眾數(shù)是多少分;
在這次數(shù)學(xué)知識竟賽中有這樣一道題:一個不透明的盒子里有完全相同的三個小球,球上分別標有數(shù)字“”,“”和“2”,隨機摸出一個小球,把小球上的數(shù)字記為x放回后再隨機摸出一個小球,把小球上的數(shù)字記為y,把x作為橫坐標,把y作為縱坐標,記作點用列表法或樹狀圖法求這個點在第二象限的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,P為線段BC上一點,過點P作y軸平行線,交拋物線于點D,當△BDC的面積最大時,求點P的坐標;
(3)如圖2,拋物線頂點為E,EF⊥x軸于F點,M(m,0)是x軸上一動點,N是線段EF上一點,若∠MNC=90°,請指出實數(shù)m的變化范圍,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點C為直徑BA的延長線上一點,CD切⊙O于點D,
(Ⅰ)如圖①,若∠CDA=26°,求∠DAB的度數(shù);
(Ⅱ)如圖②,過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E,若⊙O的半徑為3,BC=10,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,E是對角線BD上的一點,過點C作CF∥DB,且CF=DE,連接AE,BF,EF.
(1)求證:△ADE≌△BCF;
(2)若∠ABE+∠BFC=180°,則四邊形ABFE是什么特殊四邊形?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】超速行駛是一種十分危險的違法駕駛行為,在一條東西走向的筆直高速公路MN上,小型車限速為每小時100千米. 現(xiàn)有一輛小汽車行駛到A處時,發(fā)現(xiàn)北偏東30°方向200米處有一超速監(jiān)測儀P. 10秒后,小汽車行駛至B處,測得監(jiān)測儀P在B處的北偏西45°方向上. 請問:這輛車超速了嗎?通過計算說明理由.(參考數(shù)據(jù):)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某高樓頂部有一信號發(fā)射塔,在矩形建筑物ABCD的A、C兩點測得該塔頂端F的仰角分別為∠α=48°和∠β=65°,矩形建筑物寬度AD=20m,高度CD=30m,則信號發(fā)射塔頂端到地面的高度FG為__米(結(jié)果精確到1m).
參考數(shù)據(jù):sin48°=0.7,cos48°=0.7,tan48°=1.1,cos65°=0.4,tan65°=2.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程m x2-(m+2)x+2=0(m≠0).
(1)求證:無論m為何值時,這個方程總有兩個實數(shù)根;
(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),求正整數(shù)m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】商場某種新商品每件進價是120元,在試銷期間發(fā)現(xiàn),當每件商品售價為130元時,每天可銷售70件,當每件商品售價高于130元時,每漲價1元,日銷售量就減少1件.據(jù)此規(guī)律,請回答:
(1)當每件商品售價定為170元時,每天可銷售多少件商品?商場獲得的日盈利是多少?
(2)在上述條件不變,商品銷售正常的情況下,每件商品的銷售價定為多少元時,商場日盈利可達到1600元?
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