Question

【題目】已知，如圖,拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，OC＝3OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值；

(3)若點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式

（2）四邊形ABCD面積有最大值為；

（3）存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P1(－2，－3)， ，

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)題意得出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式求出答案；(2)、首先根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)得出直線AC的解析式，然后過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，－m－3)，從而得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出DM的長度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出DM的最大值，得出面積的最大值；(3)、①、過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，，將C(0，－3)代入函數(shù)解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②、平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC＝PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，3)，然后代入函數(shù)解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：(1)、∵OC＝3OB，B(1,0)，∴C(0，－3)． 把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入，得

∴拋物線的解析式

(2)、由A（－3,0），C(0，－3)得直線AC的解析式為，

如圖，過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N.

設(shè)M則D，

∴-1＜0，∴當(dāng)x＝時(shí)，DM有最大值∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD

此時(shí)四邊形ABCD面積有最大值為.

(3)、存在

①過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，

此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形． ∵C(0，－3)，令

∴， .∴P1(－2，－3)．

②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC＝PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，∵C(0，－3)，

∴可令P(x,3)， ，得解得，

此時(shí)存在點(diǎn),

綜上所述，存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P1(－2，－3)，