【題目】如圖,邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)PPFBC于點(diǎn)F,點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0,6),(﹣40),連接PDPE,DE

1)求拋物線的解析式;

2)小明探究點(diǎn)P的位置是發(fā)現(xiàn):當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí),PDPF的差為定值,進(jìn)而猜想:對(duì)于任意一點(diǎn)P,PDPF的差為定值,請(qǐng)你判定該猜想是否正確,并說(shuō)明理由;

3)請(qǐng)直接寫(xiě)出PDE周長(zhǎng)的最大值和最小值.

【答案】1y=﹣x2+8;(2)正確,d|PDPF|為定值2;理由見(jiàn)解析;(3)△PDE周長(zhǎng)的最大值是2+14,最小值是2+10

【解析】

1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;

2)首先表示出P,F點(diǎn)坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)之間距離公式得出PD,PF的長(zhǎng),進(jìn)而求出即可;

3)過(guò)EEFx軸,交拋物線于點(diǎn)P,求得CPDEEDPEPDEDPEPF2ED2+(PEPF),當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí),PEPF最。划(dāng)PA重合時(shí),PEPF最大;即可解答.

1邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

C0,8),A(﹣8,0),

設(shè)拋物線解析式為:yax2+c,

解得:

拋物線解析式為y=﹣x2+8

2)設(shè)Px,﹣x2+8),則Fx,8),

PF8﹣(﹣x2+8)=x2

PD2x2+[6﹣(﹣x2+8]2x4+x2+4=(x2+22

PDx2+2,

d|PDPF||x2+2x2|2

d|PDPF|為定值2;

3)如圖,過(guò)點(diǎn)EEFx軸,交拋物線于點(diǎn)P,

d|PDPF|為定值2

CPDEED+PE+PDED+PE+PF+2ED+2+PE+PF),

D0,6),E(﹣4,0

DE

CPDE2+2+PE+PF),

當(dāng)PEPF在同一直線時(shí)PE+PF最小,

CPDE最小值=2+2+82 +10

設(shè)P為拋物線AC上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),過(guò)PPMx軸,交AB于點(diǎn)M,連接ME,如圖2

由于EAO的中點(diǎn),易證得MEPE(當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A時(shí),在PME中,顯然MPE是鈍角,故MEPE,與A重合時(shí),等號(hào)成立),而MEAE+AM

所以PEAE+AM

所以當(dāng)PA重合時(shí),PE+PF最大,

AE844PD10

CPDE最大值=2+4+102+14

綜上所述,PDE周長(zhǎng)的最大值是2+14,最小值是2+10

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1m   

2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

3)這次調(diào)查結(jié)果的眾數(shù)是   ;

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