Question

（2007•甘井子區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD中，若E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，且AE=AF．過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE，交對(duì)角線BD于M，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥DF，交AD于N，交BE的延長(zhǎng)線于G．探究BG、AM、MG之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析：連接MC，首先根據(jù)題干條件結(jié)合正方形的性質(zhì)證明△ABM≌△CBM，得出AM=CM，∠AMB=∠CMB，∠MCB=∠MAB，再證明△ABE≌△ADF，得到∠ABE=∠ADF，結(jié)合AM⊥BE，MG⊥DF，得到∠DMG=∠AMB=∠CMB，于是可以證明C，M，G三點(diǎn)在同一直線上，綜合以上條件可以證明結(jié)論．

解答：答：BG，AM，MG之間的數(shù)量關(guān)系是：BG=AM+MG．
證明：連結(jié)MC．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ADB=∠ABD=∠CBD=45°，
∵在△ABM與△CBM中，

AB=BC ∠ABD=∠CBD BM=BM

，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM，∠AMB=∠CMB，∠MCB=∠MAB，
∵在△ABE與△ADF中，

AE=AF AB=AD ∠BAE=∠DAF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE=∠ADF，
又∵∠ABD=∠ADB=45度，
∴∠EBD=∠FDB，
∵AM⊥BE，MG⊥DF，
∴∠EBD+∠AMB=∠FDB+∠DMG=90°，
∴∠DMG=∠AMB=∠CMB，
∴C，M，G三點(diǎn)在同一直線上，
∴CG=CM+MG，
∵∠MAB+∠ABE=∠GBC+∠ABE=90°，
∴∠MAB=∠GBC，
∵∠MAB=∠MCB
∴∠GBC=∠MCB，
∴BG=CG=CM+MG．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理，此題涉及角之間的等量關(guān)系較多，希望引起同學(xué)的注意．