【題目】已知RtOAB,∠OAB=90o,∠ABO=30o,斜邊OB=4,將RtOAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60o,如圖1,連接BC

(1)ΔOBC的形狀是

(2)如圖1,連接AC,作OPAC,垂足為P,求OP的長度;

(3)如圖2,點(diǎn)M、N同時從點(diǎn)O出發(fā),在△OCB邊上運(yùn)動,M沿OCB路徑勻速運(yùn)動,N沿OBC路徑勻速運(yùn)動,當(dāng)兩點(diǎn)相遇時運(yùn)動停止.已知點(diǎn)M的運(yùn)動速度為1.5單位/秒,點(diǎn)N的運(yùn)動速度為1單位/.設(shè)運(yùn)動時間為x秒,△OMN的面積為y,求當(dāng)x為何值時y取得最大值?最大值為多少?(結(jié)果可保留根號)

【答案】(1)等邊三角形;(2) ;(3) 時,y有最大值,

【解析】

(1)根據(jù)有一個角為60o的等腰三角形為等邊三角形便可判斷.

(2)先計算出OA、AB長度,利用面積法便可求出OP

3)分三種情況討論,當(dāng)0x≤時,點(diǎn)NNEOC,計算NE,便可找到面積的最值;當(dāng)x≤4時,作MHOBH.計算BM=81.5xMH的值,便可找到面積的最值;當(dāng)x≤4時,作OGBCGMN=122.5xOG的值,便可計算面積最值.

(1)等邊三角形

RtOAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60o

∴OB=OC ∠BOC=60°

ΔOBC的形狀為等邊三角形.

(2)OB=4,∠ABO=30°,∴OA= OB=2,AB= OA=2

SAOC= OAAB=×2×2=2,

∵△BOC是等邊三角形,∴∠OBC=60°,∠ABC=ABO+OBC=90°

AC= =2,∴OP=

(3)①當(dāng)0x≤時,MOC上運(yùn)動,NOB上運(yùn)動,此時過點(diǎn)NNEOC且交OC于點(diǎn)E.則NE=ONsin60°= ,∴SOMN= OMNE= ×1.5·,∴

時,y有最大值,

②當(dāng)x≤4時,MBC上運(yùn)動,NOB上運(yùn)動.

MHOBH.則BM=81.5x,MH=BMsin60°= ,

y= ×ON·MH=.當(dāng)時,y取最大值,

③當(dāng)4x≤4.8時,M、N都在BC上運(yùn)動,作OGBCG

MN=122.5x,OG=AB=2,∴y= MNOG=12 ,

當(dāng)x=4時,y有最大值,,綜上所述,y有最大值,

練習(xí)冊系列答案
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1)直接寫出ABO的形狀:

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操作如下:

第一步:在x正半軸上找一個格點(diǎn)E,使OEOB;

第二步:找一個格點(diǎn)F,使∠EOF=∠AOB;

第三步:找一個格點(diǎn)M,作直線AM交直線OFD,連DE,則DEO即為所作出的圖形.請你按以上操作完成畫圖.并直接寫出點(diǎn)E,FM三點(diǎn)的坐標(biāo).

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3)若線段,點(diǎn)為反比例函數(shù)與拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn),設(shè)的橫坐標(biāo)為,當(dāng)時,求的取值范圍.

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