【題目】已知拋物線y=ax2+bx﹣a+b(a,b為常數(shù),且α≠0).
(1)當(dāng)a=﹣1,b=1時,求頂點坐標;
(2)求證:無論a,b取任意實數(shù),此拋物線必經(jīng)過一個定點,并求出此定點;
(3)若a<0,當(dāng)拋物線的頂點在最低位置時:
①求a與b滿足的關(guān)系式;
②拋物線上有兩點(2,s),(m,t),當(dāng)s<t時,求m的取值范圍.
【答案】(1)頂點坐標是(,);(2)證明見解析,(﹣1,0);(3)①b=2a;②﹣4<m<2
【解析】
(1)代入a與b的值,確定函數(shù)解析式即可求頂點坐標;
(2)將表達式因式分解,可得到當(dāng)x=-1時,y=0時是函數(shù)過的頂點;
(3)由拋物線開口向下,當(dāng)拋物線的頂點在最低位置時即是頂點是(-1,0)時,可求a、b關(guān)系;結(jié)合函數(shù)圖象即可求m的范圍.
(1)當(dāng)a=﹣1,b=1時,
∴y=﹣x2+x+2=,
∴頂點坐標是(,);
(2)y=ax2+bx﹣a+b=(ax2﹣a)+(bx+b)=a(x+1)(x﹣1)+b(x+1)=(x+1)(ax﹣a+b),
當(dāng)x=﹣1時,y=0,
所以拋物線必經(jīng)過定點(﹣1,0);
(3)①∵拋物線必經(jīng)過定點(﹣1,0),
∴當(dāng)a<0,拋物線的頂點在最低位置時,即(﹣1,0)是拋物線的頂點,
此時﹣=﹣1,
∴b=2a;
②當(dāng)兩點(2,s),(m,t),在x=﹣1右側(cè)時:
∵s<t,
∴﹣1<m<2,
當(dāng)(m,t),在x=﹣1左側(cè)時:
∵s<t,
∴﹣4<m<﹣1,
綜上所述,﹣4<m<2時,s<t.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,霧霾天氣給人們的生活帶來很大影響,空氣質(zhì)量問題倍受人們關(guān)注,某學(xué)校計劃在教室內(nèi)安裝空氣凈化裝置,需購進A、B兩種設(shè)備,已知:購買1臺A種設(shè)備和2臺B種設(shè)備需要3.5萬元;購買2臺A種設(shè)備和1臺B種設(shè)備需要2.5萬元.
(1)求每臺A種、B種設(shè)備各多少萬元?
(2)根據(jù)學(xué)校實際,需購進A種和B種設(shè)備共30臺,總費用不超過30萬元,請你通過計算,求至少購買A種設(shè)備多少臺?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A(m,m+1),B(m+3,m﹣1)是反比例函數(shù)(x>0)與一次函數(shù)y=ax+b的交點.
求:(1)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)反比例函數(shù)的函數(shù)值大于一次函數(shù)的函數(shù)值時x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了增強學(xué)生體質(zhì),某校對學(xué)生設(shè)置了體操、球類、跑步、游泳等課外體育活動,為了了解學(xué)生對這些項目的喜愛情況,在全校范圍內(nèi)隨機抽取了若干名學(xué)生,對他們最喜愛的體育項目(每人只選一項)進行了問卷調(diào)查,將數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計并繪制成了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖(均不完整).
(1)在這次問卷調(diào)查中,一共抽查了多少名學(xué)生?
(2)補全頻數(shù)分布直方圖,求出扇形統(tǒng)計圖中“體操”所對應(yīng)的圓心角度數(shù);
(3)估計該校名學(xué)生中有多少人喜愛跑步項目.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把平面內(nèi)一條數(shù)軸x繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角θ(0°<θ<90°)得到另一條數(shù)軸y,x軸和y軸構(gòu)成一個平面斜坐標系.規(guī)定:已知點P是平面斜坐標系中任意一點,過點P作y軸的平行線交x軸于點A,過點P作x軸的平行線交y軸于點B,若點A在x軸上對應(yīng)的實數(shù)為a,點B在y軸上對應(yīng)的實數(shù)為b,則稱有序?qū)崝?shù)對(a,b)為點P的斜坐標.在平面斜坐標系中,若θ=45°,點P的斜坐標為(1,2),點G的斜坐標為(7,﹣2),連接PG,則線段PG的長度是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為選拔一名選手參加“美麗邵陽,我為家鄉(xiāng)做代言”主題演講比賽,經(jīng)研究,按圖所示的項目和權(quán)數(shù)對選拔賽參賽選手進行考評(因排版原因統(tǒng)計圖不完整).下表是李明、張華在選拔賽中的得分情況:
項目 選手 | 服裝 | 普通話 | 主題 | 演講技巧 |
李明 | 85 | 70 | 80 | 85 |
張華 | 90 | 75 | 75 | 80 |
結(jié)合以上信息,回答下列問題:
(1)求服裝項目的權(quán)數(shù)及普通話項目對應(yīng)扇形的圓心角大小;
(2)求李明在選拔賽中四個項目所得分數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)根據(jù)你所學(xué)的知識,幫助學(xué)校在李明、張華兩人中選擇一人參加“美麗邵陽,我為家鄉(xiāng)做代言”主題演講比賽,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足為E,點F在BD的延長線上,且DF=DC,連接AF、CF.
(1)求證:∠BAC=2∠DAC;
(2)若AF=10,BC=4,求tan∠BAD的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著,代表了東方數(shù)學(xué)的最高成就.它的算法體系至今仍在推動著計算機的發(fā)展和應(yīng)用.書中記載:“今有圓材埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?”譯為:“今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸這木材,鋸口深1寸(ED=1寸),鋸道長1尺(AB=1尺=10寸)”,問這塊圓形木材的直徑是多少?”
如圖所示,請根據(jù)所學(xué)知識計算:圓形木材的直徑AC是( )
A. 13寸 B. 20寸 C. 26寸 D. 28寸
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