Question

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B．求：

（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0）、B（0，3）．（2）y=（x﹣2）2﹣1．（3）所求的點(diǎn)為P1（2，3），P2（2，3+），P3（2，3﹣），P4（2，2）．

【解析】

試題分析：（1）由y=﹣3x+3得，當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=0時(shí)，x=1，即可確定點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）把點(diǎn)A（1，0）、B（0，3）代入y=a（x﹣2）2+k得：，解得，即可解答；

（3）存在，由AO=1，BO=3，得到AB=．設(shè)對(duì)稱x軸交于點(diǎn)D，P（2y），D（2，0），所以DA=1，PD=|y|，PA2=PD2+DA2=y2+1，分三種情況討論解答：當(dāng)PA=AB即PA2=AB2=10時(shí)；當(dāng)PB=AB即PB2=AB2=10時(shí)；當(dāng)PA=PB即PA2=PB2時(shí)．

解：（1）由y=﹣3x+3得，當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=0時(shí)，x=1

∴A（1，0）、B（0，3）．

（2）把點(diǎn)A（1，0）、B（0，3）代入y=a（x﹣2）2+k得：

解得

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=（x﹣2）2﹣1．

（3）∵AO=1，BO=3，

∴AB=．

設(shè)對(duì)稱x軸交于點(diǎn)D，P（2，y），D（2，0），

∴DA=1，PD=|y|，PA2=PD2+DA2=y2+1，

當(dāng)PA=AB即PA2=AB2=10時(shí)，

∴y2+1=10，

解得y=±3

∴P（2，±3），

但當(dāng)P（2，﹣3）時(shí)，P、A、B在同一條直線上，不合題意舍去．

∴P1（2，3），

當(dāng)PB=AB即PB2=AB2=10時(shí)，如圖，過(guò)B作BE⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)E，

則E（2，3），EB=2，PE2=（y﹣3）2，

∴PB2=PE2+BE2=（y﹣3）2+4=10，

解得

∴P2（2，3+）、P3（2，3﹣），當(dāng)PA=PB即PA2=PB2時(shí)，

y2+1=（y﹣3）2+4

解得y=2，

∴P4（2，2）．

綜上所述，所求的點(diǎn)為P1（2，3），P2（2，3+），P3（2，3﹣），P4（2，2）．