Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑， OD∥BC交⊙O于點D，交AC于點E，連接AD，BD，CD．

（1）求證：AD=CD；

（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）tan∠DBC=．

【解析】

（1）由AB為直徑，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂徑定理證得，=，繼而證得結論；

（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的長，繼而求得DE，AE的長，則可求得tan∠DAE，然后由圓周角定理，證得∠DBC=∠DAE，則可求得答案．

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OD∥BC，

∴∠AEO=∠ACB=90°，

∴OD⊥AC，

∴=，

∴AD=CD；

（2）解：∵AB=10，

∴OA=OD=AB=5，

∵OD∥BC，

∴∠AOE=∠ABC，

在Rt△AEO中，OE=OAcos∠AOE=OAcos∠ABC=5×=3，

∴DE=OD=OE=5﹣3=2，

∴AE===4，

在Rt△AED中，tan∠DAE===，

∵∠DBC=∠DAE，

∴tan∠DBC=．