Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是弧BC的中點，過點D作EF垂直于直線AC，垂足為F，交AB的延長線于點E．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】

(1)連接OD，證明OD//AF，繼而得OD⊥EF，由此即可得結論；

(2)在Rt△AFE中，根據(jù)勾股定理求出AE長，設⊙O半徑為r，由EO＝10﹣r，繼而證明△EOD∽△EAF，利用相似三角形對應邊成比例即可求得答案.

(1)連接OD．

∵EF⊥AF，

∴∠F＝90°．

∵D是的中點，

∴，

∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，

∵∠A＝∠BOC，

∴∠A＝∠EOD，

∴OD∥AF，

∴∠EDO＝∠F＝90°，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

(2)在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，

∴AE=＝10，

設⊙O半徑為r，

∴EO＝10﹣r．

∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，

∴△EOD∽△EAF，

∴，

∴,

∴r＝，即⊙O的半徑為．