Question

如圖已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直線的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點(diǎn)(8，8)，直線與x軸的交點(diǎn)為C，與y軸的交點(diǎn)為B．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式與B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于D點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E．設(shè)線段PD的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1），（0，4）；（2）（0＜t＜8）；
（3）（，）或（2，5）．

試題分析：（1）先設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把A點(diǎn)（8，8）代入即可求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式，根據(jù)直線y軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為0即可求出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)P點(diǎn)在上且橫坐標(biāo)為t，得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，），根據(jù)PD⊥x軸于E，用t表示出D和E的坐標(biāo)，再根據(jù)PD=h，求出，最后根據(jù)P與AB不重合且在AB上，得出t的取值范圍；
（3）先過點(diǎn)B作BF⊥PD于F，得出，BF=t，再根據(jù)勾股定理得出PB和BC的值，再假設(shè)△PBO∽△BOC，得出，即可求出t₁和t₂的值，從而求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
∵A點(diǎn)（8，8）在二次函數(shù)上，
∴，解得
∴
∵直線與y軸的交點(diǎn)為B，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）．
（2）P點(diǎn)在上且橫坐標(biāo)為t，
∴P（t，），
∵PD⊥x軸于E，
∴D（t，），E（t，0），
∵PD=h，
∴
∵P與AB不重合且在AB上，
∴0＜t＜8．
（3）存在，
當(dāng)BD⊥PE時(shí)，△PBD∽△BCO，
∵
∴
∴
∴
解得，（舍去）
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）
當(dāng)DB⊥PC時(shí)，
△PBD∽△BCO，
過點(diǎn)B作BF⊥PD，

則F（t，4），
∴，BF=t，
根據(jù)勾股定理得

假設(shè)△PBO∽△BOC，
則有

解得，（舍去）
∴
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，5）．
點(diǎn)評(píng)：在解題時(shí)要能靈運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出二次函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的關(guān)鍵．