Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，一次函數(shù)y=kx+1的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，4），平行于x軸的直線l過(guò)（0，-1）點(diǎn)。

（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移t個(gè)單位（t＞0），二次函數(shù)的圖象與x軸交于M，N兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象交y軸于F點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)，過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓的面積最小，最小面積是多少？

Answer 1

解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1得， ∴一次函數(shù)的解析式為； ∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸， ∴設(shè)二次函數(shù)解析式為， 把A（-4，4）代入得， ∴二次函數(shù)的解析式為； （2）由，解得， ∴B， 過(guò)A，B點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足為， 則， ∴直角梯形的中位線長(zhǎng)為， 過(guò)B作BH垂直于直線于點(diǎn)H，則， ， ∴， ∴AB的長(zhǎng)等于AB中點(diǎn)到直線l的距離的2倍， ∴以AB為直徑的圓與直線l相切； （3）平移后二次函數(shù)解析式為， 令y=0，得， ∵過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓的圓心一定在直線x=2上，點(diǎn)F為定點(diǎn)， ∴要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點(diǎn)F到直線x=2的距離， 此時(shí)，半徑為2，面積為4π， 設(shè)圓心為C，MN中點(diǎn)為E，連CE，CM，則CE=1， 在三角形CEM中，NE=， ∴，而， ∴t=3， 使用當(dāng)t=3時(shí)，過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓面積最小，最小面積為4π。