Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為y軸．一次函數(shù)y=kx+1的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A,B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,4)．平行于x軸的直線過(guò)(0,-1)點(diǎn)．

（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；

（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并給出證明；

（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移t個(gè)單位(t>0)，二次函數(shù)的圖象與x軸交于M,N兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象交y軸于F點(diǎn)．當(dāng)t為何值時(shí)，過(guò)F,M,N三點(diǎn)的圓的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

解：（1）把A(-4,4)代入y=kx+1得，

∴一次函數(shù)的解析式為；

∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，

∴設(shè)二次函數(shù)解析式為，

把A(-4,4)代入得，

∴二次函數(shù)解析式為．

（2）由

解得或，

∴，

過(guò)A,B點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足為A′,B′，

則AA′=4+1=5,，

∴直角梯形的中位線長(zhǎng)為，

過(guò)B作BH垂直于直線于點(diǎn)H，則，，

∴，

∴AB的長(zhǎng)等于AB中點(diǎn)到直線的距離的2倍，

∴以AB為直徑的圓與直線相切．

（3）平移后二次函數(shù)解析式為，

令y=0，得(x-2)²-t=0，，

∵過(guò)F,M,N三點(diǎn)的圓的圓心一定在直線x=2上，點(diǎn)F為定點(diǎn)，

∴要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點(diǎn)F到直線x=2的距離，

此時(shí)，半徑為2，面積為4π，

設(shè)圓心為C,MN中點(diǎn)為E，連CE,CM，則CE=1，

在三角形CEM中，，

∴，而，∴t=3，

∴當(dāng)t=3時(shí)，過(guò)F,M,N三點(diǎn)的圓面積最小，最小面積為4π．