【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣1.0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,﹣3),頂點為D.
(1)求此拋物線的解析式.
(2)求此拋物線頂點D的坐標和對稱軸.
(3)探究對稱軸上是否存在一點P,使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請求出所有符合條件的P點的坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣1.0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,﹣3),
∴ ,
解得, ,
即此拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3;
(2)
解:∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴此拋物線頂點D的坐標是(1,﹣4),對稱軸是直線x=1
(3)
解:存在一點P,使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形,
設點P的坐標為(1,y),
當PA=PD時,
= ,
解得,y=﹣ ,
即點P的坐標為(1,﹣ );
當DA=DP時,
= ,
解得,y=﹣4±2 ,
即點P的坐標為(1,﹣4﹣2 )或(1,﹣4+2 );
當AD=AP時,
= ,
解得,y=±4,
即點P的坐標是(1,4)或(1,﹣4),
當點P為(1,﹣4)時與點D重合,故不符合題意,
由上可得,以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形時,點P的坐標為(1,﹣ )或(1,﹣4﹣2 )或(1,﹣4+2 )或(1,4)
【解析】(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣1.0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,﹣3),可以求得拋物線的解析式;(2)根據(jù)(1)中的解析式化為頂點式,即可得到此拋物線頂點D的坐標和對稱軸;(3)首先寫出存在,然后運用分類討論的數(shù)學思想分別求出各種情況下點P的坐標即可.本題考查二次函數(shù)綜合題,解題的關鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件,利用分類討論的數(shù)學思想解答問題.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點).
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【題目】如圖,點B、F、C、E在一條直線上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一個條件后,仍無法判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE
B.AC=DF
C.∠A=∠D
D.BF=EC
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與y軸交于點C(0,﹣6),與x軸的一個交點坐標是A(﹣2,0).
(1)求二次函數(shù)的解析式,并寫出頂點D的坐標;
(2)將二次函數(shù)的圖象沿x軸向左平移 個單位長度,當 y<0時,求x的取值范圍.
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【題目】我們知道:“兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等”.但是,小亮發(fā)現(xiàn):當這兩個三角形都是銳角三角形時,它們會全等,除小亮的發(fā)現(xiàn)之外,當這兩個三角形都是時,它們也會全等;當這兩個三角形其中一個三角形是銳角三角形,另一個是時,它們一定不全等.
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【題目】(在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如圖1,則有a2+b2=c2;若△ABC為銳角三角形時,小明猜想:a2+b2>c2 , 理由如下:如圖2,過點A作AD⊥CB于點D,設CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2﹣x2 , 在Rt△ADB中,AD2=c2﹣(a﹣x)2
∴a2+b2=c2+2ax
∵a>0,x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2
∴當△ABC為銳角三角形時,a2+b2>c2
所以小明的猜想是正確的.
(1)請你猜想,當△ABC為鈍角三角形時,a2+b2與c2的大小關系.
(2)溫馨提示:在圖3中,作BC邊上的高.
(3)證明你猜想的結論是否正確.
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【題目】如圖,點P是∠AOB內(nèi)任意一點,且∠AOB=40°,點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點,當△PMN周長取最小值時,則∠MPN的度數(shù)為( )
A. 140° B. 100° C. 50° D. 40°
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【題目】如圖所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.
(1)問線段EC與BF數(shù)量關系和位置關系?并給予證明.
(2)連AM,請問∠AME的大小是多少,如能求寫出過程;不能求,寫出理由.
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【題目】在矩形ABCD中,E為CD的中點,H為BE上的一點, ,連接CH并延長交AB于點G,連接GE并延長交AD的延長線于點F.
(1)求證: ;
(2)若∠CGF=90°,求 的值.
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