【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,P為BA延長線上一點,點C在⊙O上,連接PC,D為半徑OA上一點,PD=PC,連接CD并延長交⊙O于點E,且E是的中點.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若AB=8,CDDE=15,求PA的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)
【解析】
(1)連接OC,OE,根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OEC=∠OCE,求得∠E+∠ODE=90°,得到∠PCD=∠ODE,得到OC⊥PC,于是得到結論;
(2)連接AC,BE,BC,根據(jù)相似三角形的性質得到,推出CDDE=AO2-OD2;由△ACP∽△CBP,得到,得到PD2=PD2+2PDOD+OD2-OA2,把已知條件代入得到OD=1(負值舍去),求得AD=3,由CDDE=2ODPD,于是得到結論.
(1)證明:連接OC,OE,
∵OC=OE,
∴∠OEC=∠OCE,
∵E是的中點,
∴,
∴∠AOE=∠BOE=90°,
∴∠OEC+∠ODE=90°,
∵PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC,
∵∠PDC=∠ODE,
∴∠PCD=∠ODE,
∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠OEC=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切線;
(2)證明:連接AC,BE,BC,
∵∠ACD=∠DBE,∠CAD=∠DEB,
∴△ACD∽△EBD,
∴,
∴CDDE=ADBD=(AO-OD)(AO+OD)=AO2-OD2;
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠PCO=90°,
∴∠ACP+∠ACO=∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠ACP=∠BCO,
∵∠BCO=∠CBO,
∴∠ACP=∠PBC,
∵∠P=∠P,
∴△ACP∽△CBP,
∴,
∴PC2=PBPA=(PD+DB)(PD-AD)
=(PD+OD+OA)(PD+OD-OA)
=(PD+OD)2-OA2
=PD2+2PDOD+OD2-OA2,
∵PC=PD,
∴PD2=PD2+2PDOD+OD2-OA2,
∴OA2-OD2=2ODPD,
∴CDDE=2ODPD;
∵AB=8,
∴OA=4,
由CDDE=AO2-OD2;
∵CDDE=15,
∴15=42-OD2,
∴OD=1(負值舍去),
∴AD=3,
由CDDE=2ODPD,
∴PD=,
∴PA=PD-AD=.
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【題目】某居民小區(qū)的一處圓柱形輸水管道破裂,維修人員為更換管道,需要確定管道圓形截面的半徑.如圖,輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm,水最深的地方的高度為4cm,則這個圓形截面的半徑為________cm.
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【題目】正方形、正方形如圖放置,點在同一條直線上,點在邊上,,且,連結交于,有下列結論:①;②;③;④;⑤.以上結論正確的個數(shù)有( )
A.5個B.4個C.3個D.2個
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【題目】我們不妨約定:對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”.(注:凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于180°的四邊形,把四邊形的任何一邊向兩方延長,其他各邊都在延長所得直線的同一旁,這樣的四邊形叫做凸四邊形.)
(1)①在“平行四邊形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有_________;②在凸四邊形中,且,則該四邊形_________“十字形”.(填“是”或“不是”)
(2)如圖1,,,,是半徑為1的上按逆時針方向排列的四個動點,與交于點,,當時,求的取值范圍;
(3)如圖2,在平面直角坐標系中,拋物線(,,為常數(shù),,)與軸交于,兩點(點在點的左側),是拋物線與軸的交點,點的坐標為,記“十字形”的面積為,記,,,的面積分別為,,,.求同時滿足下列三個條件的拋物線的解析式:①;②;③“十字形”的周長為.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為,E在正方形外,DE=DC,過D作DH⊥AE于H,直線DH,EC交于點M,直線CE交直線AD于點P,則下列結論正確的是____________
①∠DAE=∠DEA;②∠DMC=45°;③;④若MH=2,則S△CMD=
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,按以下步驟作圖:①分別以點C和點D為圓心,大于為半徑作弧,兩弧交于點M,N;②作直線MN,且恰好經(jīng)過點A,與CD交于點E,連接BE,則下列說法錯誤的是( )
A.B.C.若AB=4,則D.
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【題目】在銳角中,,,,將繞點按逆時針方向旋轉,得到.
(1)如圖1,當點在線段的延長線上時,求的度數(shù);
(2)如圖2,連接,.若的面積為4,求的面積;
(3)如圖3,點為線段中點,點是線段上的動點,在繞點按逆時針方向旋轉過程中,點的對應點是點,求線段長度的最小值.
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【題目】已知△ABC是邊長為的等邊三角形.將△ABC繞點A逆時針旋轉角θ(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直線相交于點O.
(1)如圖a,當θ=20°時,判斷△ABD與△ACE是否全等?并說明理由;
(2)當△ABC旋轉到如圖b所在位置時(60°<θ<120°),求∠BOE的度數(shù);
(3)在θ從60°到120°的旋轉過程中,點O運動的軌跡長為 .
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【題目】為了了解居民的環(huán)保意識,社區(qū)工作人員在光明小區(qū)隨機抽取了若干名居民開展主題為“打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)”的環(huán)保知識有獎問答活動,并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如圖條形統(tǒng)計圖(得分為整數(shù),滿分為10分,最低分為6分)
請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)本次調查一共抽取了 名居民;
(2)求本次調查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(3)社區(qū)決定對該小區(qū)500名居民開展這項有獎問答活動,得10分者設為“一等獎”,請你根據(jù)調查結果,幫社區(qū)工作人員估計需準備多少份“一等獎”獎品?
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