Question

【題目】如圖，已知直線與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線 經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作y軸的平行線與拋物線交于C點(diǎn), 拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為D．

（1）求圖中拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PC的長度的最大值；

（3）在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使得以O、A、P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，線段PC有最大值是2；（3），，

【解析】

把x=0，y=0分別代入解析式可求點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求解析式；

設(shè)點(diǎn)C,可求PC,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x+2)，則點(diǎn)C，分三種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：(1)可求得 A（0,2 ），B(4,0 )

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B

∴把(0,2),(4,0)分別代入得：

解得：

∴拋物線的解析式為.

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x+2)，則C（）

∵點(diǎn)P在線段AB上

∴

∴當(dāng)時(shí)，線段PC有最大值是2

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x+2)，

∵PC⊥x軸，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x，又點(diǎn)C在拋物線上，

∴點(diǎn)C(x,)

①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形AOPC為平行四邊形，

則OA=PC=2,即，

化簡(jiǎn)得：，

解得x1=x2=2把x=2代入

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)

②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形AOCP為平行四邊形，

則OA=PC=2,即，

化簡(jiǎn)得：，

解得：

把，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為;

③當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形AOCP為平行四邊形，

則OA=PC=2,即，

化簡(jiǎn)得：，

解得：

把

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上，使以O、A.P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

滿足的點(diǎn)P的坐標(biāo)為.