【題目】如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,直徑AD⊥BC于E,點(diǎn)F是OE的中點(diǎn),且BD∥CF.
(1)若BD=3,求BC的長(zhǎng).
(2)若BD平分∠CBP,求證:ABBD=BPAF.
【答案】(1)BC=2;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)由直徑AD⊥BC,根據(jù)垂徑定理得到E為BC中點(diǎn),又BD與CF平行,得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,從而利用“AAS”得到三角形BDE與三角形CFE全等,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到DE=EF,設(shè)ED=EF=x,由已知F為OE中點(diǎn),得到OE=2EF=2x,OD=OA=3x,則AD=6x,再由直徑AB所對(duì)的圓周角為直角得到∠ABD=90°,又根據(jù)垂直定義得到∠AEB=90°,故兩個(gè)角相等,再根據(jù)∠BED為公共角,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△ABD∽△BED,由相似得比例列出關(guān)于x的方程,求出方程的解即可得到x的值,即可求出BD和DE,在直角三角形BDE中,利用勾股定理求出BE的長(zhǎng),進(jìn)而求出BC的長(zhǎng);
(2)連接BF,根據(jù)AB為圓的直徑,得到其所對(duì)的圓周角為直角,根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠BAD+∠ADB=90°又根據(jù)AD與BC垂直根據(jù)垂直定義得到一個(gè)直角,同理可得∠DBE+∠ADB=90°,根據(jù)同角的余角相等得到∠BAD=∠DBE,根據(jù)角平分線定義得到∠PBD=∠DBE,利用等量代換得到∠BAD=∠PBD,由(1)可知BE垂直平分FD,故BF=BD,根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到∠BFD=∠BDF,再根據(jù)等角的鄰補(bǔ)角相等得到一對(duì)角相等,由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似,得到△ABF∽△BPD,由相似得比例變形后得證.
解:(1)∵直徑AD⊥BC于E,
由垂徑定理得:BE=CE,
又∵BD∥CF,
∴∠ECF=∠EBD,∠EFC=∠EDB,
∴△BED≌△CEF,
∴DE=EF,
設(shè)DE=EF=x,
又∵點(diǎn)F是OE的中點(diǎn),
∴OE=2EF=2x,OD=OA=3x,AD=6x,
∵AD是⊙O直徑,
∴∠ABD=90°,
又AD⊥BC,∴∠AEB=90°,
∴∠ABD=∠AEB,又∠BDE=∠BDE,
∴△ABD∽△BED,
∴,即,
解得:x=,
在直角三角形BDE中,
根據(jù)勾股定理得:BE=,
則BC=2BE=2;
(2)連接BF,AB,
∵AD是⊙O直徑,
∴∠ABD=90°,
∴∠BAD+∠ADB=90°
又AD⊥BC,∴∠AEB=90°,
∴∠DBE+∠ADB=90°,
∴∠BAD=∠DBE,
又∵BD平分∠CBP,
∴∠PBD=∠DBE,
∴∠BAD=∠PBD,
由(1)可知:DE=EF,且AD⊥BC,
∴BE是DF的垂直平分線,
∴BF=BD,
∴∠BFD=∠BDF,
∴∠AFB=∠BDP,
∴△ABF∽△BPD,
∴,即ABBD=BPAF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】襄陽(yáng)市精準(zhǔn)扶貧工作已進(jìn)入攻堅(jiān)階段.貧困戶張大爺在某單位的幫扶下,把一片坡地改造后種植了優(yōu)質(zhì)水果藍(lán)莓,今年正式上市銷售.在銷售的30天中,第一天賣出20千克,為了擴(kuò)大銷量,采取了降價(jià)措施,以后每天比前一天多賣出4千克.第x天的售價(jià)為y元/千克,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 且第12天的售價(jià)為32元/千克,第26天的售價(jià)為25元/千克.已知種植銷售藍(lán)莓的成木是18元/千克,每天的利潤(rùn)是W元(利潤(rùn)=銷售收入﹣成本).
(1)m= ,n= ;
(2)求銷售藍(lán)莓第幾天時(shí),當(dāng)天的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
(3)在銷售藍(lán)莓的30天中,當(dāng)天利潤(rùn)不低于870元的共有多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)A,并沿東北方向AC移動(dòng),已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為50千米/時(shí),受影響區(qū)域的半徑為130千米,B市位于點(diǎn)A的北偏東75°方向上,距離A點(diǎn)240千米處.
(1)說(shuō)明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B市;
(2)求這次臺(tái)風(fēng)影響B市的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜,以3元/千克的價(jià)格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種小型西瓜每降價(jià)0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,為了減少庫(kù)存,該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利200元,應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低( 。┰
A.0.2或0.3
B.0.4
C.0.3
D.0.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,分別以點(diǎn)A(2,3)、點(diǎn)B(3,4)為圓心,以1、3為半徑作⊙A、⊙B,M,N分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則PM+PN的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以邊AB的中點(diǎn)O為圓心,作半圓與AC相切,點(diǎn)P,Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn),連接PQ,則PQ長(zhǎng)的最小值是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=mx2﹣8mx+4m+2(m>2)與y軸的交點(diǎn)為A,與x軸的交點(diǎn)分別為B(x1,0),C(x2,0),且x2﹣x1=4,直線AD∥x軸,在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(t,0)過(guò)點(diǎn)E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點(diǎn)分別為P、Q.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)0<t≤8時(shí),求△APC面積的最大值;
(3)當(dāng)t>2時(shí),是否存在點(diǎn)P,使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠要加工甲、乙、丙三種型號(hào)機(jī)械配件共120個(gè),安排20個(gè)工人剛好一天加工完成,每人只加工一種配件,設(shè)加工甲種配件的人數(shù)為x,加工乙種配件的人數(shù)為y,根據(jù)下表提供的信息,解答下列問(wèn)題:
配件種類 | 甲 | 乙 | 丙 |
每人每天加工配件的數(shù)量個(gè) | 8 | 6 | 5 |
每個(gè)配件獲利元 | 15 | 14 | 8 |
求y與x之間的關(guān)系.
若這些機(jī)械配件共獲利1420元,請(qǐng)求出加工甲、乙、丙三種型號(hào)配件的人數(shù)分別是多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某食品廠生產(chǎn)一種半成品食材,產(chǎn)量百千克與銷售價(jià)格元千克滿足函數(shù)關(guān)系式,從市場(chǎng)反饋的信息發(fā)現(xiàn),該半成品食材的市場(chǎng)需求量百千克與銷售價(jià)格元千克滿足一次函數(shù)關(guān)系,如下表:
銷售價(jià)格元千克 | 2 | 4 | 10 | |
市場(chǎng)需求量百千克 | 12 | 10 | 4 |
已知按物價(jià)部門規(guī)定銷售價(jià)格x不低于2元千克且不高于10元千克
求q與x的函數(shù)關(guān)系式;
當(dāng)產(chǎn)量小于或等于市場(chǎng)需求量時(shí),這種半成品食材能全部售出,求此時(shí)x的取值范圍;
當(dāng)產(chǎn)量大于市場(chǎng)需求量時(shí),只能售出符合市場(chǎng)需求量的半成品食材,剩余的食材由于保質(zhì)期短而只能廢棄若該半成品食材的成本是2元千克.
求廠家獲得的利潤(rùn)百元與銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式;
當(dāng)廠家獲得的利潤(rùn)百元隨銷售價(jià)格x的上漲而增加時(shí),直接寫出x的取值范圍利潤(rùn)售價(jià)成本
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