【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,E為BC邊的中點,連接DE.
(1)求證:DE與⊙O相切.
(2)若tanC= ,DE=2,求AD的長.

【答案】
(1)證明:連接DO,DB,

∴OD=OB,

∴∠ODB=∠OBD.

∵AB是直徑,

∴∠ADB=90°,

∴∠CDB=90°.

∵E為BC的中點,

∴DE=BE,

∴∠EDB=∠EBD,

∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD,

即∠EDO=∠EBO.

∵∠ABC=90°,

∴∠EDO=90°.

∴OD⊥ED于點D.

又∵OD是半徑,

∴DE為⊙O的切線


(2)解:∵∠BDC=90°,點E為BC的中點,

∴DE= BC.

∵DE=2,

∴BC=4.

在直角△ABC中,tanC= ,

∴AB=BC× =2

在直角△ABC中,由勾股定理得到AC=6.

又∵△ABD∽△ACB,

= ,即 = ,

∴AD=


【解析】(1)如圖,連接DO、DB.欲證明DE與⊙O相切,只需證得OD⊥DE即可;(2)由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”易求DE= BC=2,則BC=4;然后通過解直角△ABC求得AB=2 、由勾股定理求得AC=6;最后通過△ABD∽△ACB的對應邊成比例求得AD=
【考點精析】關(guān)于本題考查的切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì),需要了解切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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身高情況分組表(單位:cm)

組別

身高

A

x<155

B

155≤x<160

C

160≤x<165

D

165≤x<170

E

x≥170

根據(jù)圖表提供的信息,回答下列問題:

(1)樣本中,男生身高的眾數(shù)在___________,中位數(shù)在___________組;

(2)樣本中,女生身高在E組的有___________人;

(3)已知該校共有男生400人、女生380,請估計身高在160≤x<170范圍內(nèi)的學生約有多少人.

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