Question

【題目】(2016浙江省舟山市第23題)我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”

（1）概念理解：

請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；

（2）問(wèn)題探究；

如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）應(yīng)用拓展；

如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．

Answer 1

【答案】(1)、矩形或正方形；(2)、AC=BD，理由見(jiàn)解析；(3)、10或12﹣．

【解析】

試題分析：(1)、矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；(2)、AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對(duì)角相等，利用等角對(duì)等角得到兩對(duì)角相等，進(jìn)而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；(3)、分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四邊形ACBD′面積；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四邊形ACBD′面積即可．

試題解析：(1)、矩形或正方形；

(1)、AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：

∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線， ∴PA=PD，PC=PB， ∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，

∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC， ∴∠APC=∠DPB， ∴△APC≌△DPB（SAS）， ∴AC=BD；

(3)、分兩種情況考慮：

（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E， 如圖3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′， 設(shè)EB=ED′=x， 由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2， 解得：x=4.5，

過(guò)點(diǎn)D′作D′F⊥CE于F， ∴D′F∥AC， ∴△ED′F∽△EAC， ∴，即，

解得：D′F=，

∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，

則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；

（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E， 如圖3（ii）所示，

∴四邊形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3， 在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE=，

∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，

則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．